Verificación de solución: probando la convergencia de una suma

Question

Soy nuevo en cálculo, y solo quería verificar mi razonamiento acerca de lo siguiente:

Dada la siguiente serie:

$$\sum n^s·e^{-n}, s \ge0$$

Se me pidió demostrar que esta serie converge.

Mi razonamiento fue:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)^s}{e^{(n+1)}}·\frac{e^n}{n^s}=\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)^s}{en^s}=\frac {1}{e}$$

Dado que $\frac {1}{e}<1$, la serie converge.

¿Es esto correcto?

¡Gracias!

Answer 1

Su prueba es definitivamente válida como una aplicación de la prueba de la razón.

Un pequeño detalle: hubiera sido más apropiado indicar el índice de sumación, es decir,

$$\sum_{n=0}^\infty \;\;\; \text{en lugar de} \;\;\; \sum$$

Aunque está bien usar este último cuando los índices o el espacio sobre el cual se está sumando son conocidos, no es necesariamente cierto aquí, en mi opinión. Pero esto puede ser simplemente un problema personal, ya que luché por un segundo para averiguar sobre qué variable estabas sumando.

(Para ser completos, asumo que era algo así como lo primero, una sumatoria infinita comenzando en algún índice finito, es decir, $0, 1,$ etc., y era una sumatoria sobre $n$.)