Soy nuevo en el cálculo, y sólo quería comprobar mi razonamiento sobre lo siguiente:
Dada es la siguiente serie:
$$\sum n^s·e^{-n}, s \ge0$$
Me pidieron que demostrara que esta serie converge.
Mi razonamiento fue:
$$\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)^s}{e^{(n+1)}}·\frac{e^n}{n^s}=\lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)^s}{en^s}=\frac {1}{e}$$
En $\frac {1}{e}<1$ la serie converge.
¿Es correcto?
Gracias.
Su prueba es definitivamente válida como aplicación de la prueba de la proporción.
Una pequeña puntualización: hubiera sido más apropiado indicar el índice de la suma, es decir
$$\sum_{n=0}^\infty \;\;\; \text{instead of} \;\;\; \sum$$
Aunque está bien utilizar esta última opción cuando se conocen bien los índices o el espacio sobre el que se está sumando, en mi opinión no es necesariamente cierto en este caso. Pero esto puede ser sólo una cuestión personal, ya que me costó un segundo averiguar sobre qué variable estabas sumando.
(En aras de la exhaustividad asumo que era algo como lo primero, una suma infinita empezando en algún índice finito, es decir. $0, 1,$ etc., y era una suma sobre $n$ .)
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