Qué $a^2+b^2=1$ tiene una infinidad de soluciones para $a,b\in\mathbb{Q}$?

Question

Qué $a^2+b^2=1$ tiene una infinidad de soluciones para $a,b\in\mathbb{Q}$?

Estoy bastante seguro de que no, pero estoy esperando a ver una rigurosa prueba de esta afirmación. Gracias.

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Aquí es mi motivación. Estoy trabajando en un extraño pequeño problema. Estoy trabajando en una geometría más de un orden de campo. Supongamos que tengo un círculo de $\Gamma$ centro $A$ pasa a través de un punto de $B$. Quiero demostrar que existen infinitos puntos en $\Gamma$. Un cambio de variable, estoy considerando la unidad círculo centrado en el origen de más de $\mathbb{Q}$. Para mostrar que hay un número infinito de puntos en $\Gamma$, es suficiente para mostrar que hay un número infinito de soluciones a$a^2+b^2=1$$a,b\in\mathbb{Q}$. Entonces yo podría extender esto para mostrar que hay un número infinito de soluciones a $a^2+b^2=r^2$ algunos $r$, lo que demuestra que cualquier círculo sobre $\mathbb{Q}$ tiene un número infinito de puntos. A continuación, desde cualquier ordenó campo tiene un subcuerpo isomorfo a $\mathbb{Q}$, estaría terminado.

Answer 1

Sólo para hacer explícito algo que se deja implícita (o hipervínculos) en las otras respuestas: para cualquier racional $t$ hemos

$\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 = 1$.

Esto es sólo lo que se obtiene mediante la proyección de la $y$ eje a través del punto de $(-1,0)$.

Answer 2

Por lo general, si una curva cónica con coeficientes racionales tiene un punto racional $\rm\:P\:$ a continuación, tiene infinitamente muchos, ya que cualquier racional de la línea a través de $\rm\:P\:$ se cruzan la curva en otro punto, necesariamente racional, ya que si una de las raíces de una racional cuadrática es racional, entonces también lo es el otro. Así, mediante el barrido de líneas de diferentes racional de los taludes a través de $\rm\:P\:$ obtenemos un número infinito de puntos racionales sobre la cónica. Además, la proyección de estos puntos en una línea que conduce a una racional parametrización de la cónica. Para una muy buena exposición de ver el Capítulo 1 de Silverman y Tate: Puntos Racionales en Curvas Elípticas.

Por Ternas Pitagóricas, hay aún más la estructura. Por ejemplo, uno puede emplear el ascenso en el Ternario Árbol de Ternas Pitagóricas sencilla y bellamente generar todos ellos. Para recoger un simple camino ascendente de los rendimientos de esta fórmula:

$\rm\quad\ (x,\:x+1,\:z) \to (X,\:X+1,\:Z),\ \ \ X\ =\ 3\:x+2\:z+1,\ \ \ Z\ =\ 4\:x+3\:z+2\:.\ \ $ Por ejemplo

$\rm\quad (3,4,5)\to (20, 21, 29)\to (119, 120, 169)\to (696, 697, 985)\to (4059, 4060, 5741)\to\cdots$

Desde $\rm\ a^2 + b^2 =\: c^2\ \Rightarrow\ (a/c)^2 + (b/c)^2 =\: 1\ $ esto da lugar a una infinidad de soluciones para la ecuación.

Answer 3

Hay infinitamente muchos (primitiva) de solucionesa $$a^2 + b^2 = c^2$$ con $a$, $b$, y $c$ enteros positivos. Dado cualquier solución, dividiendo a través de por $c^2$ da $$\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1.$$

Desde $\gcd(a,c) = \gcd(b,c)=1$, esto ya está expresada en términos menos, tan distintas ternas pitagóricas primitivas dar distintas soluciones racionales.

Answer 4

La respuesta es sí. Esto se ve más fácilmente a través de la proyección estereográfica, como se describe aquí.