Mostrar $X$ es un campo vectorial completo en $M$

Question

Pues bien, yo mismo he resuelto el problema: todo campo vectorial suave sobre una variedad compacta es completo.

Ahora tengo un problema que no puedo solucionar:

deje $X$ es un campo vectorial en $M$ Supongamos $\exists \epsilon >0\ni (-\epsilon,\epsilon) \subsetneq (a(m),b(m))\forall m\in M$ Entonces demuestre que $X$ es un campo vectorial completo, es decir $(a(m), b(m))=\mathbb{R}$

gracias por cualquier ayuda.

donde $(a(m),b(m))$ es el dominio de la curva integral máxima, para cada $m\in M$ obtendremos este intervalo $(a(m),b(m))$

aquí pregunté algunas cosas realted

Una serie de lemas sobre $C^{\infty}$ campos vectoriales

Answer 1

Sea $\gamma(t)$ sea la curva integral máxima con condición inicial $\gamma(0) = m$ y supongamos $b(m) < \infty$ .

Si denotamos $\gamma'(t)$ la curva integral máxima con condición inicial $\gamma'(0) = \gamma(b(m) -\epsilon/2)$ entonces $$ \gamma''(t) = \begin{cases} \gamma(t) & \text{if } t\in (a(m), b(m) - \epsilon/2)\\ \gamma'(t - b(m) + \epsilon/2)& \text{if } t\in [b(m) - \epsilon/2, b(m) + \epsilon/2) \end{cases} $$ prolonga $\gamma(t)$ . Eso contradice la afirmación de que $\gamma(t)$ es máxima.

Un razonamiento similar puede utilizarse para demostrar $a(m) = -\infty$ .

Editar - Algunas aclaraciones

$\gamma''$ prolonga $\gamma$ significa que $\gamma''$ tiene un intervalo de existencia, $(a(m), b(m) + \epsilon/2)$ que es un superconjunto propio del intervalo de existencia, $(a(m), b(m))$ de $\gamma$ y las dos curvas son iguales en el dominio común, $(a(m), b(m))$ .

La "uniformidad" de $\epsilon$ garantiza que la curva integral con condición inicial $$ \gamma'(0) = \gamma(b(m) - \epsilon/2) $$ existe en el intervalo $[0, \epsilon)$ . Sin "uniformidad" podría ocurrir que el intervalo derecho máximo de existencia de $\gamma'$ es $[0, \epsilon/2)$ . En tal caso, una curva $\gamma''$ construido como se ha indicado anteriormente, coincidiría con $\gamma$ : no prolongaría $\gamma$ .

La condición inicial de $\gamma'$ se elige de tal manera que nos permita unir sin problemas $\gamma'$ à $\gamma$ para formar una nueva curva, $\gamma''$ que prolonga $\gamma$ .

La contradicción surge porque construimos una curva integral que prolonga una curva integral máxima, que, como tal, no puede ser prolongada por definición.

Answer 2

Para cualquier $m\in M$ Escriba $\mathrm{Fl}^X_t(m)$ para la curva integral máxima que comienza en $m$ en $t=0$ Así que $\mathrm{Fl}^X(m):(a(m),b(m))\rightarrow M,~\mathrm{Fl}^X_0(m)=m$ et $\frac{d}{dt}\mathrm{Fl}^X_t(m)=X_{\mathrm{Fl}^X_t(m)}$ .

Utilizamos el hecho de que $$\Omega=\lbrace (m,t)\in M\times \mathbb R~|~\mathrm{Fl}^X_t(m)~\mathrm{exists}~\rbrace$$ es un subconjunto abierto de $M\times \mathbb R$ que contiene $M\times 0$ . Consideremos una curva integral (no necesariamente máxima) de $X$ que comienza en $m$ y se define en $(a,b)$ con $-\infty\leq a<0<b<+\infty$ . Por compacidad de $M$ existe una secuencia $t_k\rightarrow b$ con $$\mathrm{Fl}^X_{t_k}(m)\rightarrow m'.$$ Por lo dicho sobre $\Omega$ existe $\epsilon>0$ y un barrio abierto $U$ de $m'$ con $U\times (-\epsilon,+\epsilon)\subset \Omega.$ Elija $k$ lo suficientemente grande como para que $b-\epsilon/2< t_k <b$ et $\mathrm{Fl}^X_{t_k}(m)\in U$ . Fijamos $m_k=\mathrm{Fl}^X_{t_k}(m)$ . Por construcción de $U$ et $\epsilon$ la curva integral que comienza en $m_k$ se define en un intervalo que contiene $(-\epsilon,+\epsilon)$ . Ahora definimos la siguiente curva: $$\gamma:(a,t_k+\epsilon)\rightarrow M,t\mapsto\bigg( \begin{array}{ll} \underline{t\in (a,t_k]:} & \mathrm{Fl}^X_t(m) \\ \underline{t\in [t_k,t_k+\epsilon):} & \mathrm{Fl}^X_{t-t_k}(m_k) \end{array}$$ Esta curva es suave, y prolonga la curva integral hasta $(a,t_k+\epsilon)\supset (a,b+\epsilon/2)$ . Para comprobar la suavidad, basta con observar la curva alrededor de $t_k$ . De la unicidad de las curvas integrales se deduce que $\mathrm{Fl}^X_t(m)$ et $\mathrm{Fl}^X_{t-t_k}(m_k)$ coinciden en una vecindad de $t_k$ lo que demuestra que $\gamma$ es suave en $t_k$ .

Así, las curvas integrales máximas están definidas para todos los tiempos en ambas direcciones (al pasar a $-X$ .)