Demuéstralo: $\|\lambda v\| = |\lambda| \cdot \|v\| $

Question

Demuéstralo: $\|\lambda v\| = |\lambda| \cdot \|v\| $ para un espacio vectorial $V$ con un producto interior y $\lambda \in F$ ,

¿Cómo podemos demostrarlo?

Entiendo que el significado geométrico es que si multiplicas un vector por un escalar entonces haces que su longitud sea mayor por ese escalar veces, e incluso si multiplicas por un escalar con signo menos entonces en realidad lo alargas por el mismo $|\lambda|$ sino hacia la otra dirección. Pero, ¿cómo demostrarlo algebraicamente?

Answer 1

Viene casi inmediatamente de las definiciones.

Sea $\langle \cdot, \cdot \rangle$ sea el producto interior, que es lineal en la primera ranura y lineal conjugado en la segunda ranura. Entonces \begin{align*} \|\lambda v\| &= \sqrt{ \langle \lambda v , \lambda v\rangle}\\ &= \sqrt{\lambda \cdot \langle v, \lambda v\rangle }\\ &= \sqrt{\lambda \cdot \overline{\lambda} \cdot \langle v,v\rangle}\\ &= \sqrt{ |\lambda|^2 \cdot \langle v,v\rangle}\\ &= |\lambda| \cdot \sqrt{\langle v,v\rangle}\\ &= |\lambda|\cdot \|v\| \end{align*}