¿Qué es la $|a H a^{-1}|$

Question

Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$ y $a \in G$ , dejemos que $a H a^{-1} = \{a h a^{-1} | h \in H \}$ sea un subgrupo de $G$ . ¿Qué es el $|a H a^{-1}|$ ?

Mi opinión: Desde $h$ es cualquier elemento de $H$ . Podríamos concluir que $|a H a^{-1}| = |H|$ . ¿Es cierto?

Answer 1

Pista: Definir la función $I_a\colon G \to G$ con la fórmula $I_a(g) =aga^{-1}$ . ¿Qué puedes decir de esa función? Observa que $I_a(H) = aHa^{-1}$ .

Answer 2

Defina $g: H \to a H a^{-1}$ por $g(h) =aha^{-1}$ . Demuestre que $g$ es una biyección y concluimos que $|a H a^{-1}| = |H|$ .