¿Por qué utilizamos sólo gráficos compatibles en la Teoría de los Múltiplos?

Question

No he podido encontrar un duplicado, aunque creo que es una pregunta muy común.

Dados dos gráficos, ( $U_{1},_{1}$ ), ( $U_{2},_{2}$ ), en una variedad topológica n-dimensional M, tal que: $U_{1} \cap U_{2}\neq \emptyset$ obtenemos mapas de transición:

$_{1}\circ _{2}^{-1} : _{2}(U_{1}\cap U_{2}) \rightarrow _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ y

$_{2}\circ _{1}^{-1} : _{1}(U_{1}\cap U_{2}) \rightarrow _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

Dos gráficos, como los anteriores, se llaman compatibles si los mapas de transición, como los anteriores, son homeomorfismos. Si $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ entonces son compatibles.

Mi pregunta es, ¿por qué necesitamos este comportamiento? Además, si queremos definir C $^{\infty}$ -¿Por qué es necesario que los mapas de transición sean mapas euclidianos suaves?

Answer 1

Imagina que coges dos bonitos trozos de tejido y los pegas con el objetivo de obtener un trozo de tejido más grande que siga siendo bonito. Luego pondrás parte del segundo trozo de tejido sobre parte del primero, para que no queden arrugas y luego pegar. Esto es básicamente lo que ocurre con los colectores: se pegan trozos de espacio euclídeo de tal forma que el objeto resultante es "bonito", es decir, vuelve a ser localmente euclídeo. Si quieres objetos más bonitos, tendrás que hacer pegados con mejor comportamiento (puedes aceptar que el trozo de tejido resultante forme un ángulo en alguna parte, o puedes pedir que sea liso en todas partes...).

Answer 2

Porque queremos utilizar los gráficos para definir la diferenciabilidad. La diferenciabilidad en función de la elección de un gráfico específico será una pesadilla.

Answer 3

Sí, cada gráfico individual $\phi \colon U \to \mathbb{R}^n$ es $C^\infty$ pero recuerde que cada gráfico sólo se define en una vecindad abierta. $U \subset M$ . Para que podamos considerar el comportamiento en todo el colector, es importante poder parchear el $U$ barrios, pasando de un gráfico a otro. $\phi$ a otra sin tener problemas de no diferenciación. Por eso necesitamos que los mapas de transición sean suaves, al igual que los gráficos.

Answer 4

Tomemos una inclusión de conjuntos $i:U\to M$ donde $U$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ .

Nos gustaría poder decir que $i$ es un homeomorfismo (isomorfismo continuo) sobre su imagen-o, para una variedad lisa, decir que $i$ es un isomorfismo suave. O, para una variedad a trozos lineal, nos gustaría decir que $i$ es un isomorfismo lineal a trozos.

En cualquier caso, nos gustaría comprobar este comportamiento en gráficos, ya que sabemos cómo se comportan estos conceptos en $\mathbb{R}^n$ . Pero este concepto no está bien definido sin mapas de transición con la propiedad adecuada. De lo contrario, la continuidad/suavidad/linealidad por partes dependería de los gráficos que se utilizaran para verificarlo, en lugar de ser una propiedad de la variedad.