$f(2-x)=f(2+x)$ y $f'(1/2)=0=f'(1)$ . Hallar el número mínimo de raíces de $f''(x)=0$ .

Question

Sea $f$ sea una función no constante dos veces diferenciable que satisfaga $f(2-x)=f(2+x)$ y $f'(1/2)=0=f'(1)$ . Hallar el número mínimo de raíces de $f''(x)=0$ en el intervalo $(0,4)$ .

Contesta: $4$

He conseguido reescribir la ecuación dada como $f(x)=f(4-x)$ . Usando esto, obtuve $$f'(x)+f'(4-x)=0$$ Y $$f''(x)=f''(4-x)$$ Por lo tanto, basta con demostrar que $f''(x)=0$ tiene al menos $2$ raíces en el intervalo $(0,2)$ pero no estoy seguro de lo que va a pasar en $x=2$ aquí. Además, tengo $f'(7/2)=0=f'(3)$ a partir de la información dada y la primera ecuación que obtuve, pero no sé cómo usar esto.

Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Su función es simétrica respecto a la recta $x=2$ . Una propiedad de una función continua simétrica es que, en la línea de simetría, la pendiente debe ser cero (¿entiendes por qué?).

Por lo tanto, tenemos

$f'(1/2) = f'(1) = f'(2) = 0$

Ahora, utilizando el teorema de Rolle, existe al menos un punto en cada uno de los intervalos $(1/2,1)$ y $ (1,2)$ tal que $f''(x) = 0$ . Para el mínimo absoluto, podemos tener 2 ceros. Ahora bien, como eso se repetiría para la imagen especular, la respuesta debería ser $4$

Answer 2

A partir de la ecuación $$f’(x)+f’(4-x)=0$$ puede conectar $x=2$ y deducir $f’(2)=0$ . Ahora ya sabes que $$f’(1/2)=f’(1)=f’(2)=0$$ Por el teorema del valor medio, se puede deducir que $f’’(c_1)=0$ para algunos $c_1\in (1/2,1)$ y $f’’(c_2)=0$ para algunos $c_2\in (1,2)$ . Así, $c_1,c_2$ son los puntos de inflexión que buscabas en el intervalo $(0,2)$ y puede que haya más.

Sin embargo, para demostrar que $4$ es el mínimo número de puntos de inflexión que dicha función podría tener, ahora debe encontrar una función $f$ que tiene exactamente $4$ puntos de inflexión y satisface todas las demás restricciones. ¿Puedes ocuparte de esta parte?

Answer 3

Para demostrar que $f''(x)=0$ tiene al menos $ 4$ basta con demostrar que $f'(x)=0$ tiene un mínimo de $5$ raíces.

ya sabemos que

$$f'(\frac 12)=f'(1)=f'(3)=f'(\frac 72)=0$$ porque $$f'(x+2)=-f'(2-x)$$

por otra parte

$$f(2-\frac 12)=f(2+\frac 12)$$ por lo que existe (Por el Teorema de Roole) $c\in (\frac 32,\frac 52) $ tal que $$f'(c)=0$$

Answer 4

Como complemento a la respuesta de Dhanvi Sreenivasan, cuando se nos da una ecuación funcional, suele ser bueno simplemente poner diferentes valores de $x$ y ver qué tipo de relaciones puedes encontrar. Aquí, una vez que empiece a sustituir en los valores de $x$ como $0,2,4$ etc., observará que la función es simétrica respecto a $x=2$ . En este caso fue relativamente fácil darse cuenta de esta relación sólo por inspección, pero si te encuentras con una ecuación funcional más complicada, seguir este método probablemente será más útil.