¿Cómo afecta el tamaño de una topología a la continuidad de los mapas?

Question

En el libro de texto que estoy leyendo, muy a menudo se menciona el tamaño de las topologías, por lo general en la forma en que la topología cociente se discute en la imagen de abajo. Ahora sé que el tamaño de una topología en un espacio corresponde al número de conjuntos abiertos que tiene, pero ¿cómo afecta eso a la continuidad de los mapas en ese espacio?

Además, en el ejemplo dice que "la topología de Y es la mayor para la cual $\pi$ es continua". ¿La topología más grande no es siempre la topología discreta?

Answer 1

Depende de si te refieres al tamaño de la topología en el dominio o en el codominio.

En el dominio, las topologías más grandes / finas conducen a funciones más continuas. De hecho, cuando el dominio está equipado con la topología discreta, entonces todas las funciones son continuas.

En el codominio, la ampliación de la topología conduce a un menor número de funciones continuas. Considere la ampliación de la topología como la adición de un conjunto abierto $E \subset Y$ que ahora hace más difícil para cualquier $f$ ser continua, ya que ahora también debe tener que $f^{-1}(E)$ sea un subconjunto abierto de $X$ . Por lo tanto, la topología más grande de $Y$ que hace $\pi$ continua no tiene por qué ser la topología discreta, ya que puede ocurrir que exista algún subconjunto $F \subset Y$ tal que $\pi^{-1}(F)$ no está abierto en $X$ .

Answer 2

Si $\pi: X \to Y$ a continuación, más conjuntos abiertos en $Y$ hacen más improbable que $\pi$ es continua. Así que la topología más grande que hace $\pi$ continua no es la topología discreta en general.