Im pedido para demostrar la $\lim_{x\to\infty}(x+1)^a-x^a=0$ cuando $a<1$ . Iba a hacer esto en tres pasos, cuando $0\lt a \lt 1$ cuando $a=0$ y cuando $a<0$ . Ahora que lo pienso, no estoy seguro. Puede que tenga que ver con la desigualdad de Bernoulli $(1+x)^a\ge1+ax$ o con el teorema del valor medio.
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- Límite de una secuencia - Apostol 10.22 # 1 (2 respuestas )
Respuesta
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En $a < 0$ está claro, ya que ambos términos van a cero.
En $a = 0$ , es 1 - 1 = 0.
El único caso que queda es $0 < a < 1$ . En ese caso, $(x+1)^a-x^a =x^a((1+1/x)^a-1) $ .
Una desigualdad útil aquí es la siguiente: si $0 < y < a < 1$ entonces $(1+\frac{y}{a})^a \le \frac1{1-y} $ . Esto puede demostrarse de varias maneras, una de las cuales es comparar los términos en el teorema del binomio generalizado.
A partir de aquí tenemos $(1+1/x)^a =(1+(a/x)/a)^a \le \frac1{1-a/x} =\frac{x}{x-a} $ , así que
$\begin{array}\\ (x+1)^a-x^a &=x^a((1+1/x)^a-1)\\ &\le x^a(\frac{x}{x-a}-1)\\ &=x^a\frac{a}{x-a}\\ &=\frac{ax^a}{x-a}\\ &\to 0 \text{ as }x \to \infty \text{ since } 0 < a < 1\\ \end{array} $ .
