Computación $\lim\limits_{n\to\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}\, dx$

Question

$$\lim_{n\to\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}\, dx$$

He sido capaz de demostrar que la integral es acotada arriba por 1 (varias formas). Uno de los más sencillo es dejar que las $u=x/n$ y hacer un poco de delimitación de arriba. Se debe converger a algo (si es monótona creciente.. no lo creo), pero todos mis esfuerzos en el uso de Lebesgue Dominado Convergencia han fracasado. Me parece que no puede dominar esta función...

Sin embargo, si yo pudiera dominar es el integrando converge pointwise a 0 y así entonces la integral de 0, que creo que es incorrecto.

He encontrado que es suficiente para lidiar con $$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{\sin(x/n)}{(1+x/n)^{n}}\, dx$$

Traté de convertirlo en una serie y usar el recíproco de la integral de la prueba, pero que no ha ido bien.

He usado Egoroff del teorema para probar el uso de convergencia uniforme, pero que no se pudo.

Algunas de las desigualdades y de las ideas que he tratado de usar en una solución incluyen:

$sin(x/n)\leq x/n$

después de un $u$ sub he tratado de convertirlo en una suma de riemann... error

$(1+x/n)^{n}\geq 1+x$ y el teorema del binomio

$(1+x/n)^{n}$ converge a $e^x$ y va en aumento en el $n$, por lo que $e^{-x}\leq \frac{1}{(1+x/n)^{n}}$

He tratado de usar que el integrando es medible y restar diferentes conjuntos medibles de la integral para hacerla más cómoda..

He estado jugando con esta encendido y apagado durante un mes o así y no de suerte. Agradezco cualquier ayuda aquí.

Actualización: De mixedmath sugerencia

división en $[0,10]$ $[10,\infty]$ está claro que el integrando es dominado en $[0,10]$ (digamos, 1) y así lebesgue, se envía a la porción de 0.

En el intervalo más amplio todavía estoy corriendo en un problema lo que es delimitado muy bien. Si intento un $u$ sub de los límites un poco lioso. Me gustaría elegir una $n$, de modo que

$2e^{-x} \leq (1+x/n)^n$ todos los $x\in [10,\infty]$ .. tal vez:

existe una $N$ tal que para todos los $n\geq N$

$e^{10}/2 < (1+10/n)^{n}$

pero para $x>10$..

$e^{10}/2<(1+10/n)^{n}<(1+x/n)^{n}$

pero eso no es cierto..

Answer 1

Vamos $$f_n(x) = \frac{\sin(x/n)}{(1+x/n)^n}.$$ Observe que $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$. Pero $$|f_n(x)| \leq \frac{1}{(1+x/n)^n} \leq \frac{1}{(1+x/2)^2}$$ para $n\ge 2.$ Así, por $n\ge 2$, $f_n(x)$ está dominado por $1/(1+x/2)^2$, que es integrable, $$\int_0^\infty dx \frac{1}{(1+x/2)^2} = 2.$$ Por lo tanto, el teorema de convergencia dominada se aplica, $$\lim_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{\sin(x/n)}{(1+x/n)^n} dx = 0.$$

En los comentarios, @RobertIsrael da otra opción para una función dominante.

Answer 2

Sólo para una solución alternativa que evita el teorema de Convergencia Dominada usted puede hacer esto.

El primer espectáculo:

$$\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} \frac{\sin(x/n)}{(1 + x/n)^n} dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} \frac{\sin(x/n)}{(1 + x/n)^n} dx.$$

Usted puede hacer esto mirando la diferencia entre su límite, y una evidente obligado. A continuación, utilice la variable de sustitución de $x/n \mapsto x$ para obtener:

$$\int_0^{n\pi} \frac{\sin(x/n)}{(1 + x/n)^n} dx = n \int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{(1 + x)^n} dx.$$

Ahora esta integral es configurar bien para la integración por partes ($\sin$ es 0 en los puntos finales) para obtener:

$$n \int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{(1 + x)^n} dx = \frac{n}{n-1} \int_0^{\pi} \frac{\cos(x)}{(1 + x)^{n-1}} dx.$$

Ahora usted puede utilizar la desigualdad de Bernoulli, la cual dice $(1 + x)^{n-1} \geq 1 + (n-1)x$ para obtener:

$$\int_0^{\pi} \frac{\cos(x)}{(1 + x)^{n-1}} \leq \int_0^{\pi} \frac{1}{1 + (n-1)x} dx$$.

que se ve fácilmente para ir a 0.