Ángulos rectos en la piscina hiperbólica

Question

(Esto utiliza un poco de física)

Así que aprendí hoy el siguiente hecho de la física: Imagina que tienes dos bolas de billar de la misma masa. Golpeas la primera, y choca contra la segunda. Entonces, sus velocidades después de la colisión serán perpendiculares.

La prueba es la siguiente: Sea $v$ la velocidad inicial, y sea $v_1$ y $v_2$ las velocidades de las dos bolas de billar después de la colisión. Por conservación del momento, $v_1+v_2=v$ y por conservación de la energía, $|v_1|^2+|v_2|^2=|v|^2$. La primera dice que $v_1, v_2$ y $v$ forman un triángulo, y la segunda nos dice que este triángulo es rectángulo.

¿Es esto aún cierto para el billar hiperbólico, el billar jugado en el plano hiperbólico? (Ver http://www.geometrygames.org/HyperbolicGames/ para una aplicación de billar hiperbólico)

Answer 1

La velocidad $v$ es el movimiento de un cuerpo por una distancia infinitesimal en un tiempo infinitesimal. Y dado que una porción infinitesimal del espacio hiperbólico se ve igual que el espacio euclidiano, diría que el argumento también se aplica allí. Entonces sí, las trayectorias también deberían ser perpendiculares, al menos para las bolas puntiformes.

Lo único que me preocupa es si se te permite asumir que los radios de tus bolas de billar son despreciables, o si no, si esto cambia algo. Dado que no hay un transporte paralelo simple en la geometría hiperbólica, no puedes simplemente mover los vectores de fuerza entre el punto de colisión y los centros de tus bolas. Esto podría cambiar las cosas.