Estoy leyendo el libro de Jet Nestruev Smooth Manifolds and Observables y tengo problemas con el ejercicio 2.12. En él se dice que cualquier colector liso es un colector liso. Se afirma que cualquier función suave $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ desvanecimiento en cruz de coordenadas $K=\{x=0\}\cup\{y=0\}$ debe ser de la forma $f(x,y)=xyg(x,y)$ para alguna función suave $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ .
El ejercicio se declara justo después de Lema de Hadamard así que supongo que debería utilizarlo o ideas relacionadas de alguna manera.
EDITAR. Acabo de probar que
$$f(x,y)=x\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x}(tx, y)dt \\ f(x,y)=y\int_0^1\frac{\partial f}{\partial y}(x, ty)dt$$
Así $f(x,y)=xg_1(x,y)=yg_2(x,y)$ . Sin embargo, ahora estoy atascado allí.
EDIT 2. Vale, creo que ya sé la respuesta. Desde $f$ desaparece en la cruz $K$ , $\frac{\partial f}{\partial x}$ desaparece en $x$ -Eje. Así podemos aplicar el mismo argumento que anteriormente y obtener que
$$f(x,y)=xy\int_0^1\int_0^1\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(tx, sy)dsdt$$
