Se sabe que una lente esférica simple no puede enfocar haces paralelos de luz monocromática en un único punto (limitado por difracción), por lo que tiene que tener forma asférica para conseguirlo.
¿Se conoce alguna forma de lente analítica perfecta que sea capaz de enfocar la luz en un único punto (de nuevo, la luz es monocromática)? ¿Existe una solución perfecta universal con factor cónico, o siempre se requieren componentes de orden superior?
La última parte de su pregunta es la más fácil de responder, así que la trataré primero. El mejor libro sobre los fundamentos del diseño óptico es "Modern Optical Engineering" de Warren J. Smith. No es específico de la óptica asférica, pero la trata además del resto de la óptica geométrica y el diseño de lentes. Es probablemente el libro de referencia más común entre los ingenieros ópticos.
El resto de la pregunta es un poco complicada y requiere un poco de información, así que téngame paciencia. Como ya se ha mencionado, incluso un objetivo ideal producirá un punto focal de un tamaño mínimo, determinado por la relación entre la distancia focal del objetivo y su apertura (esta cantidad se denomina "número f" o "abertura"). $f/\#$ ") y la longitud de onda de la luz. Esto es lo que los ingenieros ópticos denominan tamaño del punto limitado por difracción. Para una abertura circular, el diámetro del punto de difracción limitada será $$2.44 \times \lambda \times f/\#$$ donde $\lambda$ es la longitud de onda.
Así como el $f/\#$ disminuye (a medida que el objetivo se hace "más rápido") el punto limitado por difracción se hará más pequeño. Sin embargo Las aberraciones del objetivo también serán más importantes. Esto significa que una lente muy lenta (con una distancia focal larga en relación con su apertura) puede producir un punto de difracción limitada aunque tenga alguna aberración en relación con una lente ideal, mientras que una lente muy rápida necesitará tener una forma ligeramente asférica para lograr un rendimiento de difracción limitada.
Esto es importante porque significa que, en algunos casos, una lente esférica puede enfocar la luz tan cerca de un punto como sea físicamente posible, aunque una esfera no tenga la forma ideal.
¿Cuál es la forma ideal? Una vez más, depende de varias cosas. Tanto para las lentes como para los espejos, la forma ideal cambia en función de la distancia entre el plano del objeto y la lente, y entre la lente y el plano de la imagen. En el caso que nos plantea, en el que la luz que entra está colimada, los ingenieros ópticos dirían que el plano del objeto está en el infinito. En este caso, como han señalado otras personas, la forma ideal de un espejo es una parábola. Sin embargo, para una lente no es así. Resulta que la forma ideal de una lente para enfocar un haz de luz colimado hacia un punto es que la primera superficie de la lente (la que golpea primero la luz) sea elíptica, y la superficie posterior, hiperbólica.
Los diseñadores de lentes suelen especificar la forma de la superficie de una lente con la siguiente ecuación: $$Z = \frac{C r^2}{1 + \sqrt{1-(1+\kappa) C^2 r^2}}$$ donde $Z$ es el "hundimiento" de la superficie de la lente, o su alejamiento de un plano tangente a la superficie de la lente en el centro de la misma, $r$ es la distancia radial desde el centro de la lente, $c$ es la curvatura de la lente (el recíproco de su radio de curvatura) y $\kappa$ se denomina "constante cónica". Es el valor de $\kappa$ que determina qué tipo de sección cónica describe la superficie:
Por otra parte, no sólo se puede ajustar la constante cónica para controlar las aberraciones. Incluso con superficies puramente esféricas, se puede variar la curvatura relativa de la superficie frontal y posterior de la lente, manteniendo constante la distancia focal efectiva. Ajustar esto es más común que añadir superficies asféricas a un objetivo, porque las superficies asféricas son caras de fabricar. Muchas empresas de suministros ópticos ofrecen incluso ópticas listas para usar con una relación de curvatura ideal para una aplicación determinada. A menudo se venden como lentes "best form".
Thorlabs tiene un poco de información sobre el diseño de lentes asféricas en su página de productos (desplácese hacia abajo por debajo de las imágenes del producto y haga clic en "Fórmula para lentes"). Tenga en cuenta que no Las lentes tradicionales pueden enfocar la luz hasta un único punto; el tamaño mínimo está sujeto al límite de difracción y es del orden de la longitud de onda.
El problema del que habla se llama la aberración esférica . Las lentes esféricas son mucho más fáciles de fabricar, mientras que desde el punto de vista geométrico la superficie de enfoque ideal es una parábola. Como la luz en los instrumentos ópticos pasa cerca del eje óptico, se utiliza la aproximación paraxial donde esfera y parábola son iguales hasta el término cuadrático.
Hay una gran variedad de lentes asféricas con lentes parabólicas entre ellas. Pero suele ser más sencillo utilizar combinaciones de lentes para hacer frente a las aberraciones esféricas y de otro tipo.
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