Medida absolutamente continua

Question

Si tengo una medida $\mu$ en $[0,1]$ y si se que

$\int_{[0,1]}Gd\mu\leq\int_0^1|G(r)|dr\quad \forall G\in C[0,1]$

esto implica que la medida $\mu$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, pero no entiendo la razón.

Debería probar que si $\lambda(A)=0$ entonces $\mu(A)=0$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Si pudiera sustituir $G$ con $\mathbb{I}_A$ estaría bien, pero $G$ debe ser una función continua y $\mathbb{I}_A$ no es una función continua.

Gracias y disculpe si mi inglés no era correcto.

Answer 1

Observe que $\mu([0,1]) \le 1$ .

Sea $I=[a,b]\subseteq[0,1]$ sea un intervalo. Sea $\epsilon > 0$ . Consideremos entonces la función lineal a trozos $f_\epsilon$ con $f_\epsilon(I) = 1$ y $f_\epsilon([0,1] \setminus [a-\epsilon, b+\epsilon]) = 0$ . Entonces, tenemos $f_\epsilon \ge \mathbb 1_I$ y $f_\epsilon \to \mathbb 1_I$ casi en todas partes y en $L^1[0,1]$ . Por lo tanto, se deduce $$ \mu(I) = \lim_{\epsilon\to 0+} \int_0^1 f_\epsilon \;\mathrm d\mu \le \lim_{\epsilon\to 0+}\int_0^1 f_\epsilon \;\mathrm d\lambda = \lambda(I). $$ Eso es, $\mu(I)\le \lambda(I)$ para cualquier intervalo en $[0,1]$ .

Sea $A\subseteq[0,1]$ con $\lambda(A)=0$ y $\epsilon > 0$ . Ahora, cubre $A$ por una unión de intervalos $\bigcup_{n=1}^\infty I_n$ con $\sum_{n=1}^\infty \lambda(I_n) < \epsilon$ (propiedad del conjunto nulo de Lebesgue) y tenemos $$ \mu(A) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(I_n) \le \sum_{n=1}^\infty \lambda(I_n) < \epsilon. $$

Answer 2

Sugerencia :

Demostrar que $\nu:=\lambda-\mu$ es una medida, lo que viene a ser lo mismo que demostrar que toma valores no negativos.

A partir de los datos se puede demostrar que $\nu(I)\geq0$ para cada intervalo $I\subseteq[0,1]$ .

Entonces $\lambda A=0$ implica $\mu A=0$