¿¡pregunta de la serie maclaurin!?

Question

Encuentre la serie Maclaurin para $\displaystyle I(x)=\int^{x}_{0}\frac{\sin[t]}{t} \, dt$ y recuerda mostrar que es una serie maclaurin

¿Algún consejo/solución sobre esto? básicamente no tengo ni idea y todo lo que sé sobre series maclaurin es expandir los términos de las derivadas usando la fórmula: $f^n(0)/n! \cdot x^n$ pero no se como hacerlo en este ejemplo

Answer 1

Boceto: La idea/truco aquí es empezar con la serie Maclaurin para $f(t) = \sin t$ y luego utiliza lo que sabes sobre las series de Maclaurin para calcular $I(x)$ . Digamos que $$ \sin(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n $$ (así $a_n = f^{(n)}(0)$ ). Por ejemplo, $a_0 = \sin(0) = 0$ y $a_1 = \sin'(0) = \cos(0) = 1$ . (Como no estoy seguro por tu post de si conoces la fórmula general, dejaré que la encuentres por tu cuenta). Entonces puedes calcular la serie de Maclaurin para $\frac{\sin(t)}t$ simplemente distribuyendo el $1/t$ en cada término de la serie para $\sin(t)$ : $$ \frac{\sin t}t = \frac 1 t \cdot \sin(t) = \frac 1 t \sum_{n=1}^\infty a_n t^n = \sum_{n=1}^\infty a_n t^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1}t^n. $$ Ahora a calcular $I(x) = \int_0^x \frac {\sin(t)} t \,dt$ podemos utilizar un teorema que nos dice que podemos integrar (en el interior del intervalo de convergencia) la serie de Maclaurin de $g(x)$ a plazos (o término a término) para obtener la serie de Maclaurin del $\int_0^x g(t) \,dt$ : $$ I(x) = \int_0^x \frac{\sin(t)} t \, dt = \int_0^x \left[\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}t^{n}\right]\,dt = \sum_{n=0}^\infty\left[\int_0^x a_{n+1}t^n\,dt\right]. $$ Tenga en cuenta que $n$ no cambia como $t$ hace (es decir, $n$ no es función de $t$ ), por lo que al integrar dentro de cada sumando tratamos $a_{n+1}$ como constante para encontrar que $$ I(x) = \sum_{n=0}^\infty\left[\int_0^x a_{n+1}t^n\,dt\right] = \sum_{n=0}^\infty\left[\frac{a_{n+1}}{n+1}t^{n+1}\right]\bigg|_{t=0}^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_{n+1}}{n+1}x^{n+1}. $$

Escribí esto en general para que usted determine lo que $a_n$ es usted mismo y para que pueda ver cómo hacerlo en el futuro para otros problemas similares. Suerte.

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[Editar: Solución revisada basada en el comentario del OP]. Así que usted puede hacer este problema por su cuenta, permítanme cambiar las cosas a una función similar. Digamos que quiero calcular la expansión de Maclaurin de $$ I(x) = \int_0^x t^3\cos(t)\,dt. $$ Para ello, primero calcularé la serie de Maclaurin para $f(t) = \cos(t)$ . Diferenciando veo que \begin{align*} f(0) &= 1\\ f'(0) &= -\sin(0) = 0\\ f''(0) &= -\cos(0) = -1\\ f'''(0) &= \sin(0) = 0\\ f^{(4)}(0) &= \cos(0) = 1, \end{align*} etc. Así que las derivadas en $0$ recorrer los valores $1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots$ . Anotando sólo los términos con índice par (ya que los demás son $0$ ) muestra que $$ \cos t = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}t^{2n}. $$ Por lo tanto $$ t^3\cos(t) = t^3\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}t^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}t^{2n+3}. $$ Entonces, como puedo integrar término a término, obtengo que \begin{align*} I(x) &= \int_0^x t^3 \cos(t) \,dt\\ &= \sum_{n=0}^\infty \int_0^x\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}t^{2n+3}\,dt\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\int_0^x t^{2n+3}\,dt\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}\cdot \frac{1}{2n+4}x^{2n+4},\\ \end{align*} y así $$ I(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!(2n+4)}x^{2n+4}. $$

Answer 2

La serie de Maclaurin es idéntica a la serie de Taylor en $x=0$ así que como $$\sin t=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}$$ por lo que integrando término a término se obtiene

$$I(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}$$