¿Cuál es la conexión exacta entre el espacio de Fock bosónico y el oscilador armónico cuántico?

Question

Supongamos que tengo un espacio de Hilbert $K = L^2(X)$ equipado con un Hamiltoniano $H$ tal que la ecuación de Schrödinger con respecto a $H$ en $K$ describe algún bosón que me interesa, y quiero crear y aniquilar un montón de estos bosones. Así que construyo el espacio de Fock bosónico

$$S(K) = \bigoplus_{i \ge 0} S^i(K)$$

donde $S^i$ denota el $i^{th}$ potencia simétrica. (¿Es esto "segunda cuantización"?) Siéntase libre de suponer que $H$ tiene un espectro discreto.

¿Cuál es el nuevo Hamiltoniano en $S(K)$ (suponiendo que los bosones no interactúen)? ¿Cómo son los observables en $K$ traducir a $S(K)$ ?

No estoy del todo seguro de que sea una pregunta con sentido, así que siéntanse libres de decirme que no lo es y que tengo que postular algún mecanismo por el que la creación y/o la aniquilación ocurran realmente. En ese caso, me encantaría que me explicaran cómo hacerlo.

Ahora bien, diversas fuentes (Wikipedia, las conferencias de Feynman) me informan de que $S(K)$ está estrechamente relacionado con el espacio de Hilbert de los estados de un oscilador armónico cuántico. Es decir, los operadores de creación y aniquilación que se definen en ese contexto son de alguna manera los mismos que los operadores de creación y aniquilación que se pueden definir en $S(K)$ y puede que los Hamiltonianos incluso se parezcan de alguna manera.

¿Por qué? ¿Qué ocurre aquí?

Supongamos que conozco un poquito de mecánica cuántica ordinaria pero nada de teoría cuántica de campos.

Answer 1

Referencia: Fetter y Walecka, Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas , Cap. 1

El Hamiltoniano para un SHO es:

$$ H = \sum_{i = 0}^{\infty}\hbar \omega ( a_i^{+} a_i + \frac{1}{2} ) $$

donde $\{a^+_i, a_i\}$ son los operadores de creación y aniquilación para el $i^\textrm{th}$ estado propio (modo de momento). El espacio de Fock $\mathbf{F}$ consiste en estados de la forma

$$ \vert n_{a_0},n_{a_1}, ...,n_{a_N} \rangle $$

que se obtienen actuando repetidamente sobre el vacío $\vert 0 \rangle $ por los operadores de escalera:

$$ \Psi = \vert n_{i_0},n_{i_1}, ...,n_{i_N} \rangle = (a_0^+)^{i_0} (a_1^+)^{i_1} \ldots (a_N^+)^{i_N} \vert 0 \rangle $$

La interpretación de $\Psi$ es como el estado que contiene $i_k$ cuantos del $k^\textrm{th}$ creado por la aplicación de $(a^+_k)^{i_k}$ en el vacío.

El estado anterior no se normaliza hasta que se multiplica por un factor de la forma $\prod_{k=0}^N \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ . Si tus excitaciones son bosónicas ya está, porque el conmutador de los operadores de escalera $[a^+_i,a_j] = \delta_{ij}$ desaparece para $i\ne j$ . Sin embargo, si las estadísticas de tus partículas son no-bosónicas (fermiónicas o anyónicas) entonces el pedir en el que actúas en el vacío con los operadores de escalera, importa.

Por supuesto, para construir un espacio de Fock $\mathbf{F}$ no es necesario especificar un Hamiltoniano. Sólo se necesitan los operadores de escalera con sus relaciones de conmutación/anticonmutación. En los problemas habituales de espacio plano, los operadores de escalera corresponden a nuestros modos de Fourier habituales $ a^+_k \Rightarrow \exp ^{i k x} $ . Para espacios-tiempo curvos, este procedimiento puede generalizarse definiendo nuestros operadores de escalera para que correspondan a soluciones de frecuencia positiva (negativa) adecuadas de un laplaciano en ese espacio. Para más detalles, véase Wald, QFT en tiempos espaciales curvos . Ahora, dado cualquier Hamiltoniano de la forma:

$$ H = \sum_{k=1}^{N} T(x_k) + \frac{1}{2} \sum_{k \ne l = 1}^N V(x_k,x_l) $$

con un término cinético $T$ para una partícula en $x_k$ y un término de potencial por pares $V(x_k,x_l)$ se puede escribir el Hamiltoniano cuántico en términos de elementos matriciales de estos operadores:

$$ H = \sum_{ij} a^+_i \langle i \vert T \vert j \rangle a_i + \frac{1}{2}a^+_i a^+_j \langle ij \vert V \vert kl \rangle a_l a_k $$

donde $|i\rangle$ es el estado con un único cuanto excitado correspondiente a la acción de $a^+_i$ en el vacío. (Para más detalles, pasos, ver Fetter & Walecka, Cap. 1).

Espero que esto ayude a resolver algunas de sus dudas. Dado que eres matemático, seguro que hay diferencias semánticas entre mi idioma y el tuyo, así que si tienes alguna pregunta, no dudes en hacerla.

Answer 2

Hablemos primero del oscilador armónico. En realidad es un sistema muy especial (único en su clase en toda la MC), que en cierto sentido ya está cuantizado en segundo lugar (este punto se aclarará más adelante).

En primer lugar, una charla general sobre los HO (sáltate este párrafo si ya los conoces al dedillo). Es posible expresar su Hamiltoniano como $H = \hbar \omega(N + 1/2)$ donde $N = a^{\dagger} a$ y $a$ es una combinación lineal del operador de momento y posición). Utilizando las relaciones de conmutación $[a, a^{\dagger}] = 1$ se obtiene la base $\{ \left| n \right >$ | $n \in {\mathbb N} \}$ con $N \left | n \right > = n$ . Así obtenemos una interpretación conveniente de que esta base es de hecho el número de partículas del sistema, cada una de las cuales lleva energía $\hbar \omega$ y que el vacío $\left | 0 \right >$ tiene energía $\hbar \omega \over 2$ .

Ahora bien, la construcción anterior era en realidad la misma que la suya para $X = \{0\}$ . La construcción de Fock (también conocida como segunda cuantización) puede entenderse como la introducción de partículas, $S^i$ correspondiente a $i$ partículas (por lo que HO es una segunda cuantización de una partícula con un grado de libertad). En cualquier caso, obtenemos operadores dependientes de la posición $a(x), a^{\dagger}(x), N(x)$ y $H(x)$ que son para cada $x \in X$ isomorfos a los operadores HO discutidos anteriormente y también obtener base $\left | n(x) \right >$ (aunque en realidad no estoy seguro de que esto sea base en el sentido estricto de la palabra; los físicos no discuten mucho estos asuntos en la teoría de campos). El hamiltoniano total $H$ será entonces una integral $H = \int H(x) dx$ . El estado genérico en este sistema parece un montón de partículas dispersas por todas partes y esto es de hecho la descripción de partículas de un campo bosónico libre.

Answer 3

Supongamos, como usted hace, que $K$ es el espacio de estados de un solo bosón. Entonces el espacio de estados de un sistema combinado de dos bosones no es $K\otimes K$ como lo sería si los dos bosones fueran distinguibles, es el subespacio simétrico que está denotando como $S^2$ . Su suma sobre todo $i$ que usted denota $S$ , es entonces un espacio HIlbert (espacio de estados) de un nuevo sistema cuyos estados contienen los estados de un sistema de un bosón, de un sistema de dos bosones, de un sistema de tres bosones, etc. excepto no un número infinito de bosones. (que no está incluido en el espacio $S$ ). Y su espacio $S$ incluye superposiciones, por ejemplo si $v_1$ es un elemento de $S$ (un estado de un bosón) y si $v_3 \in S^3$ (un estado de un sistema de tres bosones) entonces $0.707 v_1 - -.707 v_3$ es un estado que tiene un cincuenta por ciento de probabilidad de ser un bosón, si se mide el número de partículas, y un cincuenta por ciento de probabilidad de ser tres bosones. Este es el significado físico del espacio de Fock. Es el espacio de estados sobre el que actúan los operadores de un campo cuántico.

Como ya ha señalado Eric Zaslow, si $H$ es el Hamiltoniano del h.o. $K$ entonces, por definición, $H\otimes I + I \otimes H$ es el Hamiltoniano en $S^2$ etc. en cada $S^i$ . Luego se suman todas para obtener un Hamiltoniano en la suma directa $S$ .

A menos que se perturbe este Hamiltoniano, el número de partículas es constante, obviamente, ya que preserva cada subespacio $S^i$ de $S$ . Así que no habrá creación ni aniquilación de pares de partículas. Si este campo entra en interacción con una partícula extraña, el Hamiltoniano será perturbado por supuesto.

Está relacionado con la segunda cuantificación de la siguiente manera: si se tiene un h.o. clásico y se cuantifica, se obtiene $K$ . Si ahora se cuantifica en segundo lugar $K$ se obtiene $S$ que puede considerarse como un campo cuántico. Sir James Jeans demostró, antes de la revolución cuántica, que el campo electromagnético clásico podía obtenerse a partir del h.o. de la mecánica clásica como límite de más y más h.o. clásicos que no interaccionan entre sí, y este procedimiento de segunda cuantificación es un análogo cuántico. No es el mismo procedimiento que si se parte de un campo clásico y luego se cuantiza. Pero es notable que se puede obtener la misma respuesta de cualquier manera, como JEans notó en el caso clásico. Es decir, empiezas con un sistema cuántico de una partícula y pasas al espacio de Fock y obtienes la teoría cuántica de campos correspondiente a ese sistema. Pero podríamos haber empezado con un campo clásico y cuantificarlo, y obtener así el campo cuántico.