Cálculo de potencias muy grandes de $e$

Question

Necesito calcular $e^{1763.192674118048}$ pero cuando intento calcularlo directamente con Matlab me devuelve "Inf", es decir, no puede calcularlo. ¿Cómo puedo calcularlo? Por si sirve de algo, con obtener la potencia correcta de 10 sería suficiente para mis propósitos.

Answer 1

$$ \left\lfloor \frac{1763.192674118048}{\log 10} \right\rfloor = 765 $$ Esta es la base del logaritmo $e,$ así que $\log 10 \approx 2.30258509$

Desde $$ \frac{1763.192674118048}{\log 10} \approx 765.7448488 $$ encontramos que su número es $$ e^{1763.192674118048} \approx 5.5571 \cdot 10^{765} $$ porque $$ 10^{0.7448488} \approx 5.5571 $$

Answer 2

Para obtener la potencia aproximada de diez, es decir, el $\alpha$ en $e^x \approx 10^\alpha$ tomando logaritmos naturales en ambos lados, $x \approx \alpha \ln 10$ Así que $\alpha = \frac x {\ln 10}$ . Esto da aproximadamente $765$ .

Answer 3

Si, para tus propósitos, bastara con convertir una potencia de e en una potencia de 10, entonces sólo tienes que cambiar la base del exponente:

$$e^x = (10^{\log_{10}(e)})^x = 10^{x \log_{10}(e)}$$

Por ejemplo, esto se hace en el siguiente código Matlab:

x = 3.2
y = x*log10(exp(1))
exp(x), 10^y

Answer 4

Utilice vpa (aritmética de precisión variable). Puede hacerlo con cadenas

>> vpa('exp(1763.192674118048)')
ans =
5.5571088254929495883970009541213*10^765

o definir una variable simbólica

>> x = sym(1763.192674118048);
>> vpa(exp(x))
ans =
5.5571088254928906583892856815215*10^765

Answer 5

Dado que buscas la potencia de 10, lo que estás preguntando es lo siguiente:

Encuentre $y$ tal que $$e^{1763.192674118048}=10^y$$

Toma el logaritmo natural de ambos lados:

$$\ln e^{1763.192674118048}= \ln 10^y$$

Trae los exponentes al frente:

$$1763.192674118048\ln e= y\ln 10$$

Reescribir en términos de $y$ y evaluar ( $\ln e = 1$ ):

$$y=\frac {1763.192674118048 \ln e}{\ln 10}= \frac{1763.192674118048}{\ln 10}\approx 765.7448489017067943$$

En $765.7448489017067943$ es el número que busca porque $$e^{1763.192674118048}\approx 10^{765.7448489017067943}$$
usted podría escribe esto en notación estándar. Consideremos:

$$10^{765.7448489017067943}=(10^{765})(10^{0.7448489017067943})$$

$$=5.5571088254929496998\times 10^{765}$$

Y, sí, son muchos decimales, pero para empezar nos alimentaron mucho, así que es un intercambio justo.