Alcance de una transformación lineal en $C[0,1]$

Question

Considere $T : C[0,1] \longrightarrow C[0,1]$ definido por $T(f(x)) = f^(x)f(x)$ . Me gusta esta transformación lineal porque su espacio nulo son funciones de la forma $ce^x$ para $c \in \mathbb{R}$ en el intervalo $[0,1]$ . En cuanto a la autonomía, no estoy tan seguro. Estamos estudiando todas las funciones que se pueden escribir como diferencia de una función continua y su derivada. ¿Son todas $C[0,1]$ ?

¿Cómo puedo convencerme de ello?

Answer 1

Intentar resolver $$f'-f=g$$ Se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden, que tiene una solución sencilla: $$f(x)=e^x\left(c+\int_0^x e^{-y} g(y) \, dy\right)$$ Así que puedes conseguir cualquier $C[0,1]$ como la diferencia entre $f'$ y $f$ .

Answer 2

Elige una $f$ cuya derivada no es continua en todas partes (es decir $f'$ no está en $C[0,1]$ ). Entonces $f'(x) - f(x)$ no puede estar en $C[0,1]$ . Un ejemplo estándar es $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ (con $f(0) = 0$ ).

Además, habla de $T:C[0,1] \to C[0,1]$ pero hay funciones en $C[0,1]$ (según su definición) que no tienen derivada (como la función Weirstrass) y el rango, es un superconjunto estricto de $C[0,1]$ .