Un vórtice en el líquido acumula partículas en el centro

Question

En Navidad, tomé una taza de té con restos de hojas en el fondo. Cuando quedaba menos de un centímetro de té, agitaba la taza para crear un pequeño vórtice, luego dejaba de agitar y miraba cómo giraba. Al principio, las partículas se dispersaban de forma bastante uniforme por todo el líquido, pero a medida que pasaba el tiempo (y el vórtice se ralentizaba, aunque no sé si es relevante) las partículas se acumulaban en el centro, hasta que, en el momento en que parecía que el líquido ya casi no giraba, todos los trocitos se acumulaban en este bonito montón ordenado en el centro.

¿Cuál es la explicación física de la acumulación de partículas en el centro?

Supongo que tiene algo que ver con el hecho de que un radio mayor hace que las partículas trabajen más por fricción...

Answer 1

La palabra viscosidad no se ha utilizado antes, y sin embargo es crucial para entender el problema. Como el té es viscoso, obedece a una especie de "condición antideslizante": está completamente en reposo contra los lados y el fondo de la taza. El té forma una pequeña "capa límite" (de ~ 0,04 cm) en el fondo, donde hay un gran gradiente de velocidad, ya que fuera de esta capa el té se comporta como si fuera no viscoso. Esta capa límite se denomina Capa Ekman - esto debería permitirle buscar buenas referencias sobre el tema. El modelo de Georg explicado anteriormente es bastante correcto. Sólo quería añadir que se trata de un ejercicio clásico pero muy sutil (hay que utilizar Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas en un marco giratorio en dos regímenes diferentes...), pero al final se puede demostrar realmente que dentro de la capa límite $$v_r = -\frac{\Delta \Omega}{2} r e^{-\hat{z}}\sin{\hat{z}},$$ donde $\Delta \Omega$ es la diferencia de velocidad de rotación entre la parte inferior y la parte superior de la copa, $\hat{z} = z \sqrt{\frac{\Omega}{\nu}}$ (dando así un tamaño típico para la capa límite...), $\Omega$ es la velocidad de rotación típica y $\nu$ la viscosidad del té.

Answer 2

Tuve que hacer esto para un trabajo de la universidad, la respuesta de Gerben y este respuesta explicarlo bastante bien pero he encontrado una fantástica vídeo que va a través de un experimento y te lleva a paso a paso a través del proceso, pensé que debía compartir. (Si quieres una explicación adecuada y no quieren ver el video, el MIT tiene algunas notas de cine aquí ).

El resultado no intuitivo se debe básicamente a los flujos secundarios, ya que el flujo rotacional primario con Velocidad=R(radio)*C(alguna constante) sugiere que las hojas de té deberían ser forzadas hacia fuera por la fuerza centrífuga. Sin embargo, como puede verse en el experimento, no es así y es necesario introducir un flujo secundario para explicar el efecto.

A continuación se muestra el perfil de velocidad de un sistema de este tipo, uniforme hasta que el flujo se acerca al fondo del recipiente, donde la velocidad está limitada por el condición antideslizante .

Para satisfacer la conservación del momento ecuación dado por Euler, la disminución de la velocidad obliga a reducir el radio de la trayectoria del flujo, acomodando un gradiente de presión constante en todo el sistema.

Para su información, este efecto también explica por qué los barcos siempre navegan más cerca de la orilla exterior que de la interior.

Answer 3

Una explicación sencilla:

En primer lugar, el vórtice se estabiliza después de dejar de agitar el vaso, porque al agitar el vaso de la forma convencional, las fuerzas que actúan sobre todo el fluido son desiguales, cuando se deja de agitar el vaso, el vórtice es capaz de aplicar uniformemente la fuerza sobre el fluido. (La fricción entre las paredes del vaso y el líquido que gira ayuda a estabilizar el vórtice).

Los sólidos de la suspensión son más densos que la solución líquida, por lo que se necesita más impulso para aumentar la fuerza centrípeta y lanzar el sólido más lejos. Sin embargo, la solución, el té, es mucho menos densa que el sólido, por lo que sale despedido más lejos.

Tu suposición es bastante acertada, porque el radio sería mayor si se aplicara la misma fuerza a un objeto menos denso.

Answer 4

Creo que las hojas se congregan en el centro a medida que el té se desacelera debido al patrón de flujo establecido por la rotación inicial. En efecto, el patrón de flujo en el té será un toroide que fluye hacia arriba por el centro y hacia abajo por el exterior, lo que hará que las partículas más densas (té) del fondo del fluido se amontonen en el centro.

Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Tea_leaf_paradox

Answer 5

Si compruebas la ecuación de Bernoulli a través de las líneas de corriente (no a lo largo de ellas), verás que las partículas de mayor radio tienen una presión estática mayor que las de radio pequeño, lo que en realidad impulsa el movimiento hacia el centro:

$${P\over\rho} + \int {V^2\over R}dn + gz = {\rm const}$$

Cuando: $R \to {\rm small} \implies \int {V^2\over R}dn \to {\rm big} \implies P \to {\rm small}$

Cuando: $R\to {\rm big} \implies \int {V^2\over R} dn \to {\rm small} \implies P \to {\rm big}$