¿Por qué un objeto no puede alcanzar la velocidad de la luz cayendo en un campo gravitatorio con aceleración constante?

Question

Hace poco aprendí en la escuela que la energía potencial gravitatoria de un objeto es igual a $mgh$ . También aprendí que la energía cinética de un objeto es $\frac12 mv^2$ . Si un objeto cae en el vacío, convertirá toda su energía potencial gravitatoria en energía cinética antes de chocar contra el suelo. Por lo tanto, $$mgh = 1/2mv^2$$ $$gh = 1/2v^2$$ Si $g = 10 N/kg$ en un planeta para alcanzar la velocidad de la luz: $h = 1/20c^2$

Si se dejara caer un objeto desde esta altura, supongo que no alcanzaría la velocidad de la luz. Creo que esto se debe a que $g$ se haría más pequeño a medida que te alejaras. Descubrí que $F = \frac {Gm_1m_2}{r^2}$ y que el peso de algo es $F = m_2g$ . Por lo tanto, $g =\frac {Gm_1}{r^2}$ . Si en lugar de tener $g = 10 N/kg$ en la superficie, si $g = 10 N/kg$ a esa altura entonces $10 =\frac {Gm_1}{(c^2/20)^2}$ . Por lo tanto, la masa del planeta sería $m_1 = c^4/(40G)$ .

Entonces, si dejas caer algo desde una altura de $c^2/20$ en el vacío (aunque irrazonablemente grande) en un planeta con masa $c^4/40G$ seguramente aceleraría lo suficiente como para alcanzar la velocidad de la luz. Mientras caía, $g$ sólo aumentaría, así que ¿por qué no iba a ser más rápido que la luz? ¿Qué he hecho mal? Gracias

Answer 1

La respuesta corta es la relatividad especial.

clásicamente

Según la mecánica clásica, nada impide que un objeto acelere más deprisa que la velocidad de la luz. Por conservación de la energía, se puede calcular la velocidad de un objeto que cae observando el cambio en el potencial gravitatorio. Como has observado, la ecuación $PE=mgh$ tiene que ser modificado para manejar el cambio de campo gravitatorio $g$ una vez que el objeto se aleja de la superficie de la Tierra.

Podemos utilizar el potencial gravitatorio newtoniano $V(r) = - \frac{GM}{r}$ donde $r$ es la separación entre la masa central $M$ y el objeto que cae. La energía potencial gravitatoria es $PE=mV=- \frac{GMm}{r}$ . Dejando caer un objeto desde el reposo encontramos:

$$E_\mathrm{initial} = E_\mathrm{final}$$ $$-\frac{GMm}{r_\mathrm{initial}} = -\frac{GMm}{r_\mathrm{final}} + \frac{1}{2}\, m\, v^2$$ $$v = \sqrt{ 2\, GM \left( \frac{1}{r_\mathrm{final}} - \frac{1}{r_\mathrm{initial}} \right) }$$

Eligiendo $M$ y el $r$ 's adecuadamente podemos hacer $v$ lo que queramos.

relatividad especial

Si queremos utilizar la relatividad especial, debemos modificar la expresión para la energía cinética. La relatividad especial también tiene en cuenta la energía en reposo de la partícula que cae. La energía en reposo más la energía cinética es $E = \gamma\, mc^2$ donde $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$$ es el factor de Lorentz para una partícula en movimiento. Si $v=0$ entonces $\gamma=1$ por lo que la energía es sólo la energía en reposo $mc^2$ .

Por conservación de la energía $$-\frac{GMm}{r_\mathrm{initial}} + mc^2 = -\frac{GMm}{r_\mathrm{final}} + \gamma\,mc^2$$ $$(\gamma - 1)\,c^2 = GM \left( \frac{1}{r_\mathrm{final}} - \frac{1}{r_\mathrm{initial}} \right)$$

La velocidad de la partícula caída se oculta en el $\gamma$ . Después de un poco de álgebra podemos encontrar:

$$v = c \sqrt{1 - \left[ \frac{1}{\frac{GM}{c^2} \left( \frac{1}{r_\mathrm{final}} - \frac{1}{r_\mathrm{initial}} \right) + 1} \right]^2}$$

Puedes comprobar que el término de la raíz cuadrada es siempre menor que 1, por lo que la partícula lanzada no supera la velocidad de la luz.

Mejor aún, se podría utilizar la relatividad general en lugar de la gravedad newtoniana... pero eso está fuera del alcance de esta pregunta.