El número entero mínimo $s$ tal que $\ker (A -\lambda I)^s = \ker (A - \lambda I)^{s+1}$ es precisamente la mayor potencia de $x-\lambda$ que divide el polinomio mínimo de $A$ . En general $\le $ que la multiplicidad algebraica de $\lambda$ .
Recordemos que en general $\ker T \subseteq \ker T^2 \subseteq \ker T^3 \subseteq \cdots$ y que si $\ker T^m = \ker T^{m+1}$ entonces $\ker T^m = \ker T^{n}, \forall n \ge m$ .
El resto se deduce de este lema:
Sea $A : V \to V$ sea un mapa lineal sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita $V$ con los valores propios $\{\lambda_1, \ldots, \lambda_r\}$ . Entonces un polinomio $p(x) = (x-\lambda_1)^{m_1}\cdots (x-\lambda_r)^{m_r}$ aniquila el mapa $A$ sólo si $$V = \ker (A-\lambda_1 I)^{m_1} \,\dot+\,\cdots \,\dot+\,\ker(A-\lambda_r I)^{m_r}$$
La dirección $\impliedby$ es más o menos obvio, y para $\implies$ puede utilizar la descomposición en fracciones parciales de $\frac1{p(x)}$ . Obsérvese que esta suma es siempre directa, es decir, tenemos $\ker (A-\lambda_i I)^{m_i} \cap \ker (A-\lambda_j I)^{m_j} = \{0\}, \forall i \ne j$ por lo que sólo hay que demostrar que la suma es igual a $V$ .
Sea $\mu_A(x) = (x-\lambda_1)^{s_1}\cdots (x-\lambda_r)^{s_r}$ sea el polinomio mínimo de $A$ . Entonces por el lema concluimos $$V = \ker (A-\lambda_1 I)^{s_1} \,\dot+\,\cdots \,\dot+\,\ker(A-\lambda_r I)^{s_r}$$
Sea $m_i\ge s_i$ . Entonces claramente $(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots (x-\lambda_r)^{m_r}$ también aniquila $A$ así que $$V = \ker (A-\lambda_1 I)^{m_1} \,\dot+\,\cdots \,\dot+\,\ker(A-\lambda_r I)^{m_r}$$
Ahora $$\sum_{i=1}^r \dim\ker (A-\lambda_i I)^{m_i} = \dim V = \sum_{i=1}^r \dim\ker (A-\lambda_i I)^{s_i}$$ implica $\dim\ker (A-\lambda_i I)^{m_i} = \dim\ker (A-\lambda_i I)^{s_i}$ así que $\ker (A-\lambda_i I)^{m_i} = \ker (A-\lambda_i I)^{s_i}$ para todos $i = 1,\ldots, r$ .
Por otra parte, si $k_i \le s_i$ y suponemos $\ker (A - \lambda I)^{k_i} = \ker (A - \lambda I)^{s_i}$ entonces tenemos
$$V = \ker (A-\lambda_1 I)^{k_1} \,\dot+\,\cdots \,\dot+\,\ker(A-\lambda_r I)^{k_r}$$
por lo que el lema implica que el polinomio $p(x) = (x-\lambda_1)^{k_1}\cdots (x-\lambda_r)^{k_r}$ aniquila $A$ . Por lo tanto, el polinomio mínimo divide a $p $ así que $k_i = s_i$ para todos $i = 1, \dots, n$ .
