Si $G$ es mínimo no $P_1$ -con un subgrupo maximal $M \leq G$ entonces $|\mho_1(M)|\leq p$ .

Question

Estoy teniendo dificultades con el Teorema 3.c de este papel .

Empezaré con algunas definiciones para un finito $p$ -grupo $G$ . Defina, para cada número entero $n$ , $\mho_n(G) = \langle g^{p^n} \mid g \in G \rangle$ y llame a $G$ a $P_1$ -grupo si $\mho_n(S) = \{ s^{p^n} \mid s \in S \}$ para todos $n$ y cada sección $S$ de $G$ incluyendo $S=G$ .

Supongamos $G$ es un mínimo no $P_1$ -grupo, es decir $G$ no es un $P_1$ -pero cada sección propia de $G$ es. Dejemos que $M$ sea subgrupo maximal de $G$ .

¿Por qué $|\mho_1(M)| \leq p$ ?

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Ya se ha demostrado anteriormente:

1. $G$ tiene exponente $p^2$ y está generado por dos elementos.
2. $\Phi(G)$ tiene exponente $p$ .
3. Si $H$ es un $P_1$ -grupo con un subgrupo $J \leq H$ tal que $\exp J = p^n$ y $[H:J]=p^k$ entonces $|\mho_n(H)| \leq p^k$ .

El documento afirma que el resultado se deduce de 3, pero ¿cómo sabemos que $M$ contiene un subgrupo de exponente $p$ e índice $p$ ?

Las desigualdades que veo son, $|\mho_1(M)| \leq [M:\Phi(G)]$ y $|\mho_{\log_p(\exp N)}(M)| \leq p$ y $|\mho_1(M)/\mho_1(N)| \leq p$ donde $N$ es un subgrupo maximal de $M$ .

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Referencia: Mann, A. (1976). La estructura de poder de los grupos p. I. Journal of Algebra, 42(1), pp.121-135.

Answer 1

Desde $G$ es $2$ -generado, $|G:\Phi(G)| = p^2$ Así que $M$ tiene $\Phi(P)$ como subgrupo de índice $p$ y exponente $p$ .