Sea $ n \geq 2 $ y $ c \geq 0 $ . Demuestre que $ A = \{x \in \mathbb {R ^ n}: \| x \|> c\} $ está conectado.

Question

Sea $ n \geq 2 $ y $ c \geq 0 $ . Demuestre que $ A = \{x \in \mathbb {R ^ n}: \| x \|> c\} $ está conectado.

He intentado hacer una prueba suponiendo que $A$ se escribe como una unión de conjuntos separados, pero todavía no he tenido ninguna contradicción. Me gustaría saber si hay otra forma más sencilla de abordar este problema.

Answer 1

ΗΙΝΤ

Puesto que estamos en $\Bbb{R}^d$ demostrar que $A$ es un camino conectado.

Tenga en cuenta que $A$ está abierto por lo que si $x,y \in A$ se pueden encontrar dos pequeñas bolas cerradas disjuntas $\bar{B}(x,r_1),\bar{B}(y,r_2) \subseteq A$

Demostrar que $\{tx+(1-t)y:t \in (0,1)\} \subseteq A$