Es $f(t)=\frac{1}{(t+2)(t-1)}$ continua en $x = 1$ si $t =\frac{1}{(x-1)}$ ?

Question

Mi libro $^*$ sólo menciona los puntos de discontinuidad como $x=\frac{1}{2}$ y $x= 2$ .

Creo que $x= 1$ es también un punto de discontinuidad ya que $t$ no está definido para $x = 1$ . Pero al sustituir y simplificar $x$ la función es continua en $x=1$ . Pero este enfoque para determinar la continuidad parece erróneo. Pues si $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ no afirmamos que la función sea continua en $x=4$ aunque $g(x)$ se simplifica a $(x+2)$ . Entonces, ¿por qué mi libro afirma que $f(t)$ es continua en $x=1$ ? ¿Qué es lo que no veo?

$^*$ Arihant NCERT Ejemplar Problemas-Soluciones Libro de Matemáticas Clase XII

Answer 1

Pero al sustituir y simplificar x la función es continua en x=1.

Pero este enfoque para determinar la continuidad parece erróneo.

Lo es. No lo simplifiques.

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Más bien, tenemos sólo por sustitución que la expresión de $f(1/(x-1))$ es: $$\dfrac{1}{(\tfrac 1{x-1}+2)(\tfrac 1{x-1}-1)}$$

Como el numerador es constante, basta con mirar el denominador para encontrar discontinuidades.

Esta expresión es discontinua cuando el el denominador desaparece ; y es entonces cuando $\tfrac 1{x-1}+2=0$ o $\tfrac{1}{x-1}-1=0$ . Así pues, afirmamos $x=1/2$ y $x=2$ como puntos de discontinuidad.

La expresión es no se considera discontinua cuando el denominador explota (en $x=1$ ), porque en ese punto evaluamos con seguridad toda la expresión como cero.