¿Reconocer como función especial?

Question

¿Es la siguiente función una función especial de algún tipo $$ f(x) = \int_0^x (1+e^{-t})^{b}\,dt, $$ donde $b>1$ ?

Answer 1

Si $b$ es entero, entonces se puede utilizar el teorema del binomio para obtener

$$f(x) = \sum_{k=0}^b \binom{b}{k} \int_0^x e^{-kt} dt = \sum_{k=0}^b \binom{b}{k} \frac{1}{k} (1-e^{-kx})$$

que no es "especial" en absoluto. Si $b$ no es entero, entonces no lo sé, pero como el argumento $x$ de $f(x)$ es "sólo" el límite superior de integración, no parece que esté a la altura de funciones especiales tan interesantes y conocidas como $\Gamma$ o $\zeta$ .

También puede escribir $$f(x) = \int_{e^{-x}}^{1} \frac{(1+u)^b}{u} du$$

que, de nuevo, no me parece nada especial y probablemente no sea demasiado difícil de resolver.