La densidad de Euler es simplemente el integrando en $2n$ dimensiones de la integral que es igual a la característica de Euler. La característica de Euler puede escribirse como la integral de la siguiente densidad de Euler en $2n$ dimensiones: $$E_{2n} = \frac{1}{2^n} R_{i_1 j_1 k_1 l_1} \dots R_{i_n j_n k_n l_n} \epsilon^{i_1 j_1 \dots i_n j_n} \epsilon^{k_1 l_1 \dots k_n l_n} $$ Tenga en cuenta que para $n=1$ es decir, en dos dimensiones, es lineal en el tensor de Riemann y, por tanto, también en el escalar de Ricci (porque el tensor de Riemann está totalmente determinado por el escalar de Ricci en 2D). En cuatro dimensiones, la densidad de Euler es cuadrática en el tensor de Riemann, y así sucesivamente.
El carácter de Euler -un "número regularizado de puntos en una variedad"- también puede calcularse de muchas otras formas, por ejemplo, para los politopos sumando el número de caras, restando aristas, añadiendo vértices, etc. En el caso de las variedades agradables, sólo es distinto de cero en las variedades pares. Para superficies de Riemann bidimensionales orientables cerradas, viene dada por $2-2h$ donde $h$ es el número de asas (el género también conocido como $g$ ). Se puede construir una variedad bidimensional general abierta/cerrada orientable/desorientable añadiendo $b$ límites (circulares), es decir, agujeros y $c$ crosscaps (agujeros con puntos antipodales identificados, creando una variedad desorientable) y la característica total de Euler es entonces $$ \chi = 2-2g - b - c.$$ Debes imaginar que si existe una función $L(\sigma^i)$ en función de las coordenadas sigma del múltiple tal que $L$ tiene unidades de $U$ la integral de trayectoria $\int DL(\sigma^i)$ tiene unidades de $U^\chi$ donde $\chi$ es la característica de Euler: a eso me refería al decir que $\chi$ es el número regularizado de puntos.
Así pues, la característica (o carácter) de Euler es posiblemente el invariante topológico más importante y elemental de una variedad. El hecho de que la integral de $E_{2n}$ es un invariante topológico puede verse calculando su variación que desaparece (para cualquier variación de la métrica) - se reduce la derivada a algunas de las identidades estándar para el tensor de Riemann, especialmente las dos identidades de Bianchi que implican antisimetrización (y, en un caso, una derivada).
La derivación de la traza del tensor tensión-energía se realiza para $d=2$ en "Teoría de Cuerdas" de Polchinski, Volumen I. La ecuación (3.4.31) dice $$T^a_a (\sigma) = -\frac{C}{12} R(\sigma)$$ donde $R$ es el escalar de Ricci, también interpretable como múltiplo de la densidad de Euler. La dirección $C$ termina siendo una definición de la carga central. No conozco la forma general de una ecuación similar en $d$ pero su forma exacta -al menos los parámetros- sí dependen de la teoría. Supongo que, en general, la traza es igual a alguna combinación lineal de la densidad de Euler y tal vez algunos otros generadores además del tensor tensión-energía.
