Sea $a,b,c$ sean números reales positivos. Demostrar que : $$\frac{ab}{3a+b}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{c+2a}\le \frac{2a+20b+27c}{49}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Rozenberg
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Sea $a=6x$ , $b=3y$ y $c=2z$ .
Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\frac{xy}{6x+y}+\frac{yz}{3y+4z}+\frac{zx}{z+6x}\leq\frac{2x+10y+9z}{49},$$ lo que es cierto por AM-GM.
En efecto, $$\frac{xy}{6x+y}+\frac{yz}{3y+4z}+\frac{zx}{z+6x}\leq\frac{x+6y}{49}+\frac{4y+3z}{49}+\frac{6z+x}{49}=\frac{2x+10y+9z}{49}.$$ ¡Hecho!
