Prueba de que la serie $\sum\limits_n P\left(\max\limits_{1\leq k\leq n}|X_{nk}|>\theta\sqrt{n\log n}\right)$ converge

Question

Sea $\{X_{nk}\}$ sea un conjunto de variables aleatorias i.i.d. tales que $$E|X_{11}|^4(\log^+|X_{11}|)^{-2}<\infty,\qquad EX_{11}^2=1,\qquad EX_{11}=0.$$ A continuación, la serie $$S=\sum_{n=1}^\infty P \left(\max_{1\leq k\leq n}|X_{nk}|>\theta\sqrt{n\log n} \right)$$ converge.

Esto es lo que vi en un periódico y no pude probarlo. Por la desigualdad de Chebyshev, \begin{equation}\nonumber \begin{aligned} S \leq&\sum_{n=1}^\infty E\left[\max_{1\leq k\leq n}|X_{nk}|^4(\log^+|X_{nk}|)^{-2}\right] \frac{\left(\log\theta\sqrt{n\log n}\right)^2}{\theta^4n^2\log^2n}\\ \le&\sum_{n=1}^\infty E\left[|X_{11}|^4(\log^+|X_{11}|)^{-2}\right] \frac{\left(\log\theta+\frac{1}{2}\log n+\frac{1}{2}\log\log n\right)^2}{\theta^4n\log^2n}.\\ \end{aligned} \end{equation} Sin embargo, las series anteriores son divergentes.

Cómo demostrarlo $S$ converge?

Answer 1

Dado que las variables aleatorias $X_{n,k}$ tienen la misma distribución, basta con demostrar que para cada $\theta$ la serie $\sum_n n\Pr\left(Y\gt \theta\sqrt{n\log n}\right)$ converge, donde $Y$ es una variable aleatoria que tiene la misma distribución que $\left|X_{1, 1}\right|$ . Puesto que para $n$ tal que $2^N\leqslant n\lt 2^{N+1}$ desigualdad $$n\Pr\left(Y\gt \theta\sqrt{n\log n}\right)\leqslant 2^{N+1} \Pr\left(Y\gt \theta 2^{N/2}\sqrt{N\log 2} \right), $$
basta con demostrar la convergencia de la serie
$$\sum_{N=1}^{+\infty} 2^{2N} \Pr\left(Y^2\gt \theta 2^{N}N \right) $$ por cada $\theta$ . Definimos $A_l:=\left\{\theta 2^l l\lt Y^2\leqslant\theta 2^{l+1}(l+1)\right\}$ . Entonces $$\sum_{N=1}^{+\infty} 2^{2N} \Pr\left(Y^2\gt \theta 2^{N}N \right) =\sum_{N=1}^{+\infty} 2^{2N} \sum_{l \geqslant N} \Pr\left(A_l \right)= \sum_{ l =1} ^{ +\infty}\Pr\left(A_l \right)\sum_{N=1}^l2^{2N} \leqslant \sum_{ l =1} ^{ +\infty}4^{l+1} \Pr\left(A_l \right) .$$
Ahora, utiliza el hecho de que $$\theta^2 \frac{ 2^{2l}l^2}{\left(\log^+\left(\theta 2^l l\right)\right)^2} \mathbf 1\left(A_l\right) \leqslant \frac{Y^4 }{\left(\log^+ Y\right)^2} \mathbf 1\left(A_l\right) $$ para obtener el resultado deseado.