Teorema de Ehresmann para variedades singulares

Question

Sea $X$ y $Y$ sean dos variedades algebraicas sobre $\mathbb{C}$ y $f\colon X\rightarrow Y$ sea un mapa propio. Supongamos que $Y$ es suave.

Me interesan las condiciones suficientes y necesarias para $f$ sea topológicamente localmente trivial en el objetivo, es decir, si para cada $y\in Y$ existe una vecindad abierta $V$ tal que $f$ a través de un homeomorfismo $f^{-1}(V){\cong} V\times f^{-1}(y)\rightarrow V$ .

Si $X$ es una variedad lisa, la respuesta viene del teorema de Ehresmann: $f$ es topológicamente localmente trivial en $Y$ si y sólo si es una inmersión adecuada. Esto implica también que $f$ es un mapa algebraico propio suave.

Pero ¿y si $X$ ¿es singular? No he encontrado ninguna referencia.
Sin duda, $f$ debe ser topológicamente localmente trivial en la $source$ . Entonces me gustaría saber qué herramientas se pueden utilizar para parchear estas trivializaciones locales a lo largo de una fibra, y tener una comprensión razonable de cuándo esto no es posible.

Answer 1

Parece que busca una buena noción de "equisingularidad". Sobre esto sé bastante poco y espero que alguien más dé una buena respuesta, pero mi suposición es que una condición suficiente y necesaria sería la existencia de una estratificación horizontal de Whitney, al menos localmente en la fuente. Quizás el libro "Stratified Morse Theory" de Goresky y MacPherson pueda ser de alguna ayuda.

Otra condición (necesaria pero quizá insuficiente) (al menos si $Y$ es el germen de una curva) es la fuga de los ciclos de fuga.

En cuanto a la segunda cuestión (trivialidad topológica local a global), véase el Corolario 6.14 en L. C. Siebenmann "Deformations of Homeomorphisms on Stratified Sets" Commentarii Mathematici Helvetici 47 (1972): una sumersión topológica separada adecuada cuya fibra es estratificable es de hecho un haz de fibras.