Contracción del símbolo de Christoffel y del tensor métrico

Question

¿Cómo puedo demostrar esta contracción del símbolo de Christoffel con el tensor métrico? $$ g^{k\ell} \Gamma^i_{\ \ k\ell} = \frac{-1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial\left(\sqrt{|g|}g^{ik}\right)}{\partial x^k} $$ Conozco la relación del símbolo de Christoffel contraído consigo mismo y este es similar, pero no encuentro la pista.

Parto de la definición de gamma: $$ g^{k\ell} \Gamma^i_{\ \ k\ell} = \frac{1}{2}g^{kl}g^{ij}(\partial_k g_{jl} + \partial_l g_{jk} - \partial_j g_{kl}) = \frac{1}{2}g^{ij}(2g^{kl}\partial_k g_{jl} - g^{kl}\partial_j g_{kl}) $$ Ahora veo que puedo usar la relación para la derivada de det(g) en el segundo término entre paréntesis, pero no sé qué hacer con el primer término.

Answer 1

Lo más importante de este cálculo es utilizar la fórmula de la derivada del determinante métrico $$\frac{\partial_i g}{g} = g^{jk} \partial_i g_{jk} $$ La derivación de esta identidad se puede encontrar en la respuesta a esta pregunta . A continuación, se puede deducir la relación entre $g^{ij}{}_{,k}$ y $g_{ij,k}$ tomando una derivada de $\delta^i{}_{j} = g^{ik}g_{kj}$ . Por último, se toma la fórmula de los símbolos de Christoffel en términos de derivadas métricas y, tras un poco de álgebra, ¡se obtiene el resultado!