Me basaré en la respuesta de tparker para destacar la gran generalidad de la relación entre momento y longitud de onda.
En física clásica, un resultado muy general llamado teorema de Noether puede utilizarse como base para un definición de impulso. Las entradas al teorema de Noether son:
- el principio de acción - traducido libremente, dice que si una entidad física influye en otra, entonces ambas deben influirse mutuamente;
- cualquier simetría continua - como la simetría rotacional o la simetría de traslación temporal.
El teorema de Noether dice que estas entradas implican la existencia de una ley de conservación asociada a la simetría dada. Por ejemplo, la simetría rotacional conduce a la conservación del momento angular, y la simetría de traslación temporal conduce a la conservación de la energía. Estas conexiones pueden considerarse definiciones de momento angular y de energía, respectivamente.
Si la simetría es simetría bajo traslaciones en espacio lo que significa aproximadamente que las leyes de la física son las mismas en todos los lugares, entonces la ley de conservación resultante es la conservación de impulso - es decir, el momento total del sistema. Esta conexión puede considerarse como la definición de impulso.
En un modelo que incluya el campo electromagnético, esta definición de momento incluye una contribución del campo electromagnético - y de cualquier otra cosa que participe en el principio de acción influyendo en (y siendo influida por) otras entidades.
En física cuántica, estas mismas conexiones generales vienen con otro giro: para cada una de estas simetrías, tenemos un operador que genera y este operador es la representación de la teoría cuántica de la cantidad conservada correspondiente. En particular, el operador de momento genera traslaciones en el espacio. Más concretamente, es el operador impulso total que genera traducciones de la sistema físico completo en el espacio. Este operador es un ingrediente básico en cualquier sistema cuántico cuyas leyes son las mismas en todos los lugares. Esto es cierto tanto en la mecánica cuántica no relativista como en la teoría cuántica de campos relativista. Aunque el concepto de partícula sin masa implica la relatividad, la conexión entre el momento y la simetría de traslación espacial sí la implica. no se basan en la relatividad.
Ahora, como prometí, aquí hay más detalles sobre lo que significa decir que el operador de momento "genera traslaciones en el espacio". Como en la respuesta de tparker, dejemos que $\hat P$ denotan cualquier componente individual del operador de momento, que genera traslaciones en esa única dirección en el espacio. La respuesta de tparker ya lo ilustraba muy bien en el caso de la mecánica cuántica de una sola partícula. Para otro ejemplo, consideraré cómo se describe un fotón sin masa en el modelo cuántico del campo electromagnético. En este modelo, en lugar de tener un operador $\hat X$ para la posición de una sola partícula, tenemos operadores de campo como $\hat E(x)$ y $\hat B(x)$ que representan los campos eléctrico y magnético. Estos operadores parametrizados por la localización $x$ en el espacio. Omito sus índices vectoriales para no desordenar las ecuaciones.
Ahora, un fotón es una partícula que, matemáticamente, se crea aplicando una combinación lineal adecuada de $\hat E(x)$ y $\hat B(x)$ al estado de vacío. Dicho estado monofotónico puede escribirse de la forma $$ |1\rangle = \int dx\ \big(f(x)\hat E(x) + g(x) \hat B(x)\big)|0\rangle $$ donde $|0\rangle$ es el estado de vacío y donde $f$ y $g$ son funciones apropiadas de valor complejo de la coordenada espacial $x$ . Dado cualquier estado monofotónico, podemos trasladar el fotón en el espacio en una cantidad $a$ aplicando el operador $\exp(i\hat P a/\hbar)$ así: \begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)|1\rangle &= \int dx\ \big(f(x)\hat E(x+a) + g(x) \hat B(x+a)\big)|0\rangle \\ &= \int dx\ \big(f(x-a)\hat E(x) + g(x-a) \hat B(x)\big)|0\rangle. \end{align*} El segundo paso consiste simplemente en cambiar la variable de integración. El primer paso se deduce de \begin{align*} \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat E(x) &= \hat E(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \\ \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\hat B(x) &= \hat B(x+a)\exp\big(i\hat P a/\hbar\big) \end{align*} que es lo que significa decir que $\hat P$ genera traducciones, junto con $$ \hat P\,|0\rangle = 0 \hskip1cm \Rightarrow \hskip1cm \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|0\rangle = |0\rangle, $$ que dice que el estado de vacío es invariante bajo traslaciones. Dado que $\hat P$ es también el operador de momento por definición (como en la perspectiva del teorema de Noether descrita anteriormente), diciendo que un fotón tiene un único momento $p$ equivale a decir que el estado $|1\rangle$ satisface $$ \hat P\,|1\rangle = p\,|1\rangle. $$ (Por cierto, la otra ecuación $\hat P\,|0\rangle=0$ mostrado anteriormente dice que el estado de vacío tiene momento cero). Esto implica $$ \exp\big(i\hat P a/\hbar\big)\,|1\rangle = \exp\big(i p a/\hbar\big)\,|1\rangle. $$ Por sí solo, esto no es concluyente, porque en un estado monofotónico, no hay nada más con lo que el fotón pueda interactuar que pueda revelar su longitud de onda. Sin embargo, los mismos principios se siguen aplicando cuando consideramos un fotón en el contexto de algún tipo de interferómetro, y entonces el hecho de que la fase del fotón oscile como $ \exp(i p a/\hbar)$ tiene consecuencias observables. En particular, trasladar el fotón a través de una distancia $a$ tal que $pa/\hbar = 2\pi$ es lo mismo que multiplicar su estado por $\exp(2\pi i)=1$ . En otras palabras, su longitud de onda es $$ \lambda=2\pi\frac{\hbar}{p} = \frac{h}{p}. $$ Aunque la idea de un fotón sin masa se basa en la relatividad, la idea de que el momento y la longitud de onda de una partícula están relacionados de esta manera no lo está. Esta relación se deriva del hecho muy general de que el operador de momento genera traslaciones en el espacio - ilustrado aquí utilizando un modelo del campo electromagnético, e ilustrado por tparker utilizando la mecánica cuántica de una sola partícula.
