Sea $\mathbf C$ sea una categoría y $P \colon \mathbf C^{\rm op} \to \mathbf{Set}$ una gavilla. Se puede asociar a $P$ el categoría de elementos de $P$ (también llamado Construcción Grothendieck en $P$ ), denotado $\int_{\mathbf C} P$ cuyos objetos son $(C,p)$ para $C$ objeto de $\mathbf C$ y $p \in P( C )$ y cuyo morfismo $(C',p') \to (C,p)$ son aquellos $u \colon C' \to C$ tal que $P(u)( p ) = p'$ .
¿Cuál es el origen del símbolo $\int$ para dicha construcción? ¿Realmente se vincula a algún tipo de integración con alguna buena elección de $\mathbf C$ ?
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Creo que es más natural sustituir $\mathsf{Set}$ por $\mathsf{Cat}$ aquí. A continuación, $P(u)(p)=p'$ se sustituye por un morfismo $P(u)(p) \to p'$ por ejemplo. Entonces $P$ puede considerarse una "función valorada por categoría" (preapilamiento) y $\int P$ es la "media" de esta función, que es una categoría. Quizás se pueda llenar esto de vida viendo algunos ejemplos concretos.
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Es una especie de colímite, y los colímites son una especie de "suma generalizada".