$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2+xy+y^2}$

Question

Fino $x,y$ :

$$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2+xy+y^2} \ \ \ : x ,y \in \mathbb{Z}$$

Mi intento :

$$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{y^2-y+1}=\sqrt{x^2+xy+y^2} \\ x^2-x+1+y^2-y+1+2\sqrt{(x^2-x+1)(y^2-y+1)}=x^2+xy+y^2 \\ 2\sqrt{(x^2-x+1)(y^2-y+1)}=xy +x+y-2$$

¿Ahora?

Answer 1

Se puede simplificar de la siguiente manera

$$\begin{align} 2\sqrt{(x^2-x+1)(y^2-y+1)}&=xy +x+y-2\\ 4(x^2-x+1)(y^2-y+1)&=x^2y^2+x^2+y^2+4+2x^2y+2xy^2-4xy\\&\,\,\,\,\,+2xy-4x-4y\\ 4x^2y^2-4x^2y+4x^2-4xy^2+4xy+4y^2&=x^2y^2+2x^2y+x^2+2xy^2-2xy+y^2\\ 3x^2y^2-6x^2y+3x^2-6xy^2+6xy+3y^2&=0\\ x^2y^2-2x^2y+x^2-2xy^2+2xy+y^2&=0\\ (xy-x-y)^2&=0 \end{align}$$

Desde aquí puedes conseguir que $x(y-1)=y$ o $y(x-1)=x$ - cualquiera de las dos formas da la misma solución de $(x,y)=(2,2)$ .

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Como señala un comentario de John Bentin, $(0,0)$ también es una solución de esta ecuación. Sin embargo, no es una solución de la ecuación original, ya que hemos elevado algunos términos al cuadrado, lo que ha creado esta solución adicional. Así que siempre es aconsejable volver atrás y comprobar si la solución funciona - $(2,2)$ lo hace, $(0,0)$ no lo hace.

Answer 2

Aplicando la desigualdad de Minkowski, tenemos que $$ \sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{y^{2}-y+1}=\big((x-\frac{1}{2})^{2}+\big(\frac{\sqrt{3}}{2}\big)\big)^{\frac{1}{2}}+\big((y-\frac{1}{2})^{2}+\big(\frac{\sqrt{3}}{2}\big)\big)^{\frac{1}{2}} \geq \big(\big(x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}\big)^{2}+(\sqrt{3})^{2}\big)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy-2x-2y+4} $$ Por lo tanto, utilizando la hipótesis, obtenemos que $$ \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}} \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}+2xy-2x-2y+4} $$ que tras elevarlo al cuadrado y realizar algunos cálculos se reduce a $ (x-2)(y-2) \le 0 $ .

Volvemos a aplicar Minkowsi pero esta vez en la forma $$ \sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{y^{2}-y+1}=\big(\big(x-\frac{1}{2})^{2}+\big(\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{2}\big)^{\frac{1}{2}}+\big(\big(\frac{1}{2}-y)^{2}+\big(\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{2}\big)^{\frac{1}{2}} \ge \big((x-y)^{2}+(\sqrt{3})^{2}\big)^{\frac{1}{2}} $$ Por lo tanto $$ \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}} \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}-2xy+3} $$ Elevando de nuevo al cuadrado, obtenemos que $ xy \ge 1 $ . La condición $ (x-2)(y-2) \le 0 $ junto con $ xy \ge 1 $ nos dicen que uno de $ x $ y $ y $ debe ser necesariamente $ 1 $ o $ 2 $ . WLOG, supongamos $ x \in \{1,2\} $ . Introducimos el valor de $ x $ en la ecuación original y el cálculo muestra entonces que la única solución posible es $ x=y=2 $ y esto efectivamente satisface la ecuación inicial.