Sea $X$ sea una variable aleatoria no negativa con distribución $F$ y media $\mu=E(X)>0$ . Sea $A_{\mu}=[\mu, \infty)$ . ¿Es cierto que $$ \int_{A_\mu} x dF(x) \geq \mu/2 $$ ¿debe sostenerse entonces?
Estoy intentando encontrar contraejemplos, tanto para variables aleatorias continuas como discretas, pero no encuentro ninguno, así que he empezado a sospechar que la desigualdad es realmente cierta. Además, me pregunto si hay una demostración rápida que la establezca, para saber si me estoy perdiendo algo estúpido. He intentado una prueba por contradicción, pero no he llegado tan lejos.
Edita: La desigualdad se cumple trivialmente si la media $\mu$ es estrictamente inferior a la mediana. En efecto, $$ \mu = E[X|X\geq \mu] P(X\geq \mu)+E[X|X < \mu] P(X < \mu) $$ así $$ \int_{A_\mu} x dF(x) =E[X|X\geq \mu] P(X\geq \mu)\\ =\mu-E[X|X < \mu] P(X < \mu)\\ \geq \mu\{1-P(X < \mu)\}\\ \geq \mu/2. $$ Pero, ¿y si ocurre lo contrario, es decir, si la media es mayor que la mediana?
