Es div: $\mathbb{P}_k\rightarrow \mathbb{P}_{k-1}$ ¿subjetivo?

Question

Mi pregunta es:

Es el operador

$\text{div}:\;(\mathbb{P}_k){\color{red}{^3}}\rightarrow (\mathbb{P}_{k-1})$ ¿subjetivo?

Aquí $\mathbb{P}_k$ denota, como es habitual, el conjunto de polinomios de grado igual o inferior a $k$ y div es el operador de divergencia.

Gracias.

Answer 1

En este caso, la respuesta es sí. Sea $p = a_0 + a_1 x + \dots + a_{k-1} x^{k-1} \in \mathbb{P}_{k-1}$ . Entonces una de sus preimágenes en $(\mathbb{P}_k)^3$ en $\text{div}$ es

$$\begin{bmatrix} a_0 x_1 + a_1 x_1^2/2 + a_2 x_1^3/3 + \dots + a_k x_1^k/k \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

Answer 2

Sí, si hablamos de campo real/complejo/racional como su campo de los polinomios Let $\sum _{j=0}^{k-1}a_jx^j$ sea su polinomio en su rango, entonces se generará una preimagen por $(\sum _{j=0}^{k-1}(a_{j}/(j+1))\cdot x^{j+1},1,1)$