Si $X_1,\ldots,X_n\sim Uniform(0,1)$ y $Y=\max[X_1,\ldots,X_n]$ encuentra $E(Y)$

Question

Si $X_1,\ldots,X_n\sim Uniform(0,1)$ y $Y=\max[X_1,\ldots,X_n]$ encuentra $E(Y)$ .

No tengo un buen punto de partida. Supongo que Y es una función de las X y entonces podría aplicar el teorema sobre la expectativa de una función, pero no sé cómo tratar esto ya que max es una función discreta.

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Primero hay que obtener la distribución de la variable $Y$ :

$$F(y)=P(\max{(X_1,X_2,...,X_n)}\leq y)=P(X_i\leq y,i=1,...,n)$$

Dónde $F$ es la distribución acumulativa. Suponiendo que sus variables son independientes:

$$P(X_i\leq y,i=1,...,n)=\left(P(X_1\leq y)\right)^n=y^n$$

Entonces la densidad es:

$$f(y)=F'(y)=ny^{n-1}$$

Por lo tanto, la expectativa es:

$$E(Y)=\int_0^1 y ny^{n-1}dy=\int_0^1 ny^{n}dy=\frac{n}{n+1}$$

Answer 2

Si su $X_i$ son independientes, podría utilizar $$P(\max X_i < t) = P(\forall X_i < t) = \prod P(X_i < t)$$ para obtener la función de distribución acumulativa de $Y$ .