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Distribuir pelotas

Hallar el número de maneras de distribuir $7$ bolas rojas, $8$ azules y $9$ verdes a dos personas para que cada una reciba $12$ bolas. Las bolas de un mismo color son indistinguibles.

Mi enfoque: es repartir las bolas entre estas dos personas en $\binom{24}{12,12}$ formas, y luego dividir por $2!$ . Desgraciadamente está mal, ¿podríais ayudarme?

3voto

JMoravitz Puntos 14532

Pista:

Estrellas y barras puede llevarte casi hasta allí.

Dejar $R,B,G$ denotan el número de bolas rojas, azules y verdes que obtiene la primera persona respectivamente, considere el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación $R+B+G=12$ si hay no eran un límite en el número de bolas de cada color disponibles.

Ahora... entre esas soluciones contadas, algunas eran "malas" porque usamos más de un color del que había disponible. Averigua cuántas fueron malas porque utilizamos demasiadas bolas rojas. Averigua cuántas eran malas porque había demasiadas azules, y lo mismo para las verdes. Corrige el recuento eliminando el número de resultados "malos" para dejar el recuento sólo con los resultados buenos.

( _Nota: En este problema, ¿es posible haber sacado demasiadas bolas rojas y azules simultáneamente? Afortunadamente no, pero si los números fueran diferentes podría haber sido posible que al intentar restar el número de resultados malos hubiéramos restado accidentalmente demasiado. En ese caso puede que tengamos que aplicar principio de inclusión-exclusión_ )

2voto

user728189 Puntos 41

Sin ninguna restricción,

$$r+b+g=12$$

El número de formas de distribuir las bolas es $$\binom{4}{2}$$

Pero hemos contado formas en las que $g\gt 9$ .

Fijar $9$ bolas verdes. $$r+b+G=3$$

Existen varias formas de hacerlo $$\binom{5}{2}$$

Del mismo modo, al principio contamos formas en las que $r\gt 7$ y $b\gt 8$ .

$$R+b+g=5$$

$$\binom{7}{2}$$

$$r+B+g=4$$

$$\binom{6}{2}$$

Además, no tenemos que preocuparnos por las formas en que cualquier $2$ o todos $3$ tipo de bolas son mayores que $7,8,9$ .

Finalmente la respuesta es

$$\binom{14}{2}-\binom{5}{2} -\binom{6}{2} - \binom{7}{2}$$

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