Hola, Me gustaría saber si el siguiente resultado es cierto:
Sea $A,B$ sean dos círculos incrustados en $S^2$ que no se cruzan y que $C$ sea el $\textit{closed}$ región delimitada por $A$ y $B$ (esta región está bien definida por el Teorema de la Curva de Jordan). Entonces $C$ es homeomorfo a $S^1\times [0,1]$ .
Si es así, ¿hay alguna prueba fácil o tiene nombre este resultado?
Si está dispuesto a citar el Schoenflies y la clasificación de superficies, una demostración rápida de este resultado es un ejercicio estándar. En primer lugar, utilizando topología algebraica (como en la demostración del propio teorema de la curva de Jordan), se demuestra que $S^1 - (A \cup B)$ es una unión de tres componentes, cuyos cierres son tres subconjuntos compactos $S_A$ , $S_{AB}$ , $S_B$ con fronteras $A$ , $A \cup B$ , $B$ respectivamente. Aplicando el teorema de Schoenflies, cada uno de $S_A$ , $S_{AB}$ , $S_B$ es una superficie compacta con límite, y de hecho $S_A$ , $S_B$ son homeomorfas a un disco. El siguiente tiene $\chi(S_A) + \chi(S_{AB}) + \chi(S_B) = \chi(S^2)$ que es un resultado estándar sobre la unión de un grupo de superficies compactas con límites mediante la identificación por pares de círculos límite. Así que esa ecuación se convierte en $1 + \chi(S_{AB}) + 1 = 2 \implies \chi(S_{AB})=0$ . Utilizando la clasificación de superficies, y descartando todas las superficies compactas de característica de Euler cero con más de dos componentes de contorno, $S_{AB}$ es un anillo.
La misma técnica realizada en general permite tomar cualquier superficie compacta $S$ con frontera (especificada por su característica de Euler, orientabilidad y número de componentes de frontera), cualquier entero $n$ y cualquier subconjunto $\mathcal{C} \subset S$ compuesto por $n$ círculos incrustados disjuntos, y enumerar todas las posibilidades finitas para los tipos topológicos de los componentes de $S-\mathcal{C}$ .
El resultado es más general. Sean F y G dos subconjuntos compactos conexos disjuntos de la esfera. Sea D el componente del complemento cuya frontera interseca a ambos. Entonces D es conformacionalmente equivalente a un anillo estándar (o un disco perforado, o el plano perforado). plano). Este teorema puede deducirse fácilmente del teorema del mapa de Riemann en el caso caso de conexión simple. Véase, por ejemplo, el libro de Goluzin, Geometric theory of functions de variable compleja.
En su caso, entonces F y G son curvas de Jordan, también hay que extender este homeomorfismo a la frontera. Esto se puede hacer con la misma técnica que en el caso de Riemann. La extensión a la frontera es una cuestión local.
Por supuesto, también debe existir una prueba puramente topológica, que no utilice variables complejas.
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