¿Cómo entender este paso de la prueba de comparación integral?

Question

En una prueba para la prueba integral, donde $a_n = f(n)$ y $f$ es una función positiva continua decreciente, uno de los pasos afirma:

$$a_1 + \sum^N_{n=2} a_n \le a_1 + \sum_{n=2}^N \int^n_{n-1} f(x) \, dx$$

¿Por qué es esto necesariamente cierto?

¿No toma el lado izquierdo de la desigualdad una suma de Riemann a la izquierda de $2$ a $N$ que es mayor que la integral del mismo tramo. Por qué la suma de las integrales del lado derecho, que parte de $1$ en lugar de $2$ ¿necesariamente se hacen más grandes?

De la sección $3.3$ de " Serie Infinita "por Keith Conrad.

Answer 1

pista

Tenemos que

$$(\forall n>1)\;\; (\forall x\in [n-1,n] )$$ $$ a_n=f (n)\leq f (x)$$

causa $f $ disminuye en $[n-1,n] $ . $f $ es continua por tanto, por integración a partir de $n-1$ a $n $ obtenemos

$$\int_{n-1}^n a_n dx\leq \int_{n-1}^nf (x)dx $$

o $$(n-(n-1))a_n\leq \int_{n-1}^n f (x)dx $$

y por suma de $2$ a $N $ terminas.

Answer 2

Así que tenemos que demostrarlo:

$\sum_{a}^{b}{f(x)} < \int_{a-1}^{b}{f(x).dx}$

Dado que la integración parte de $a-1$ esta desigualdad es correcta.

Observa el diagrama anterior (a = 2):

Como puede ver, los rectángulos (la parte sigma) están siempre por debajo de la curva.

Answer 3

En lugar de ver el lado izquierdo de la desigualdad como una suma de Riemann izquierda de $2$ a $N$ , véalo como una suma de Riemann a la derecha de $1$ a $N$ . Esto se debe a que en el lado derecho de la desigualdad, se está integrando a partir de $n-1$ a $n$ lo que significa que realmente está integrando a partir de $n=1$ .

La Suma de Riemann derecha de una función decreciente es menor que la integral del mismo tramo.

Answer 4

La cuestión parece ser: ¿Por qué $\displaystyle a_n = f(n) \le \int_{n-1}^n f(x)\,dx\text{ ?}$

La función es disminuyendo. Eso implica que:

$$ \text{if } n-1\le x\le n \text{ then } f(x) \ge f(n). $$ Por lo tanto $\displaystyle \int_{n-1}^n f(x)\,dx \ge \int_{n-1}^n f(n)\,dx = f(n) = a_n.$