¿Existe un límite inferior para el número máximo de conjuntos separados?

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico y $T\colon X\to X$ uniformemente continua. Un conjunto $E\subset X$ se dice $(n,\varepsilon)$ -separados si para cualquier $x,y\in E$ hay un $0\leq j< n$ tal que $d(T^j(x),T^j(y))>\varepsilon$ .

Para un conjunto compacto $K\subset X$ deje $s_n(\varepsilon,K)$ denota la cardinalidad mayor de cualquier $(n,\varepsilon)$ -conjunto separado $E$ contenida en $K$ .

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¿Existe un límite inferior para $s_n(\varepsilon,K)$ ?

¿No se deduce de la definición que $s_n(\varepsilon,K)\geq 2$ ?

Answer 1

Esto está básicamente relacionado con la medida hausdorff de $K$ .

Para cualquier $\varepsilon >0$ hay $\varepsilon>\delta(\varepsilon)>0$ tal que $d(x,y)\leq \delta$ implica $d(Tx,Ty)<\varepsilon$

Sea $\delta^j(\varepsilon)=\delta(\delta(\delta(....\delta(\varepsilon))$ $j$ -veces.

Así, si $d(x,y)\leq \delta^j(\varepsilon)$ entonces $x,y$ no son $(j,\varepsilon)$ -separado.

Resulta que si un subconjunto de $K$ es $(n,\varepsilon)$ -separado, entonces es un $\delta(\varepsilon)^n$ -embalaje (según el wikipedia definición)

En particular, si un subconjunto de $K$ es un máximo $\delta^n(\varepsilon)$ -embalaje entonces es un $\delta^n(\varepsilon)$ -red.

De este modo se obtiene una estimación de la cardinalidad en función de la Medida de Hausdorff de $K$ .