Parece una pregunta elemental, pero no he encontrado respuesta en google ni soy capaz de resolverla.
Sea $k$ sea un campo cualquiera y $V$ sea un espacio vectorial sobre ese campo.
Un mapa bilineal $B:V\times V\rightarrow k$ se denomina antisimétrica si $b(u,v) = -b(v,u)$ para todos $u,v\in V$ .
Demostrar que cualquier forma bilineal antisimétrica $B$ admite otra forma bilineal $L$ para que $B(u,v) = L(u,v)-L(v,u)$ .
En $k$ es un campo de característica $\mathrm{char} k\not = 2$ podemos tomar $L:=\frac{B}{2}$ y utilizar la antisimetría.
En $k=\mathbb{F}_2$ (el campo con $2$ elementos) y $\dim V = 2$ calculé a mano que si $L=\begin{bmatrix} l_1 & l_2 \\ l_3 & l_4 \end{bmatrix}$ entonces $L(u,v)-L(v,u) = (l_2-l_3)u_2v_1+(l_3-l_2)u_1v_2$ . Otro cálculo muestra que cualquier mapa bilineal antisimétrico adopta esta forma (Editar: La última afirmación es aparentemente errónea a menos que se suponga además que $B(u,u)=0$ para todos $u\in V$ ).
Incluso una solución general cuando $k=\mathbb{F}_2$ se agradece.
Edición: Con el supuesto adicional de que $B(u,u)=0$ Puedo resolver la demanda para dimensión finita $V$ .
Mira el homomorfismo $\phi:\mathcal{M}_n(k)\rightarrow \mathcal{M}_n(k)$ que toma un $n\times n$ matriz $A$ y lo envía a la matriz $\phi(A)$ definido por la forma $(u,v)\mapsto u^T A v - v^T Au$ .
El núcleo de estos mapas está formado por matrices $A$ satisfaciendo $u^TAv = v^TAu$ Por lo tanto $A=A^T$ . Este espacio tiene dimensión $\frac{n^2+n}{2}$ (porque $A$ está determinada por sus valores en la diagonal y todo lo que está por encima de ella). Por lo tanto, la imagen tiene dimensión $\frac{n^2-n}{2}$ que es igual a la dimensión de los mapas bilineales antisimétricos que satisfacen además $B(u,u)=0$ para todos $u\in U$ .
