Encontrar un grupo "natural" que contenga el cociente del grupo simétrico infinito por el subgrupo alterno.

Question

Sea $S_\infty$ el grupo de permutaciones de $\mathbb{N}$ . Se puede demostrar que no existe ningún homomorfismo $S_\infty \to \mathbf{Z}/2$ ampliando el signo en los grupos simétricos finitos. ¿Es posible escribir un homomorfismo (uno no explícito no será útil en mi aplicación) de $S_\infty$ en otro grupo (infinito), que restringe al signo? Tal vez también deberíamos exigir que el homomorfismo de alguna manera también recuerda el signo en el caso infinito. Así, tal vez deberíamos formalizar algo como $(-1)^M$ donde $M$ es un conjunto infinito (como podrás adivinar, esto está relacionado con mi pregunta sobre Productos Tensoriales Infinitos).

EDIT: Como ha señalado Pete, la pregunta equivale a: Encontrar un grupo agradable, "natural" que contiene $S_\infty / \cup_n A_n$ .

Answer 1

Esto no es una respuesta propiamente dicho [ Editar : OK, ¡quizás lo sea! Estaba un poco confuso sobre lo que se me pedía exactamente cuando escribí esto, y en el pasado Martin ha expresado su descontento con las respuestas que considera que no han respondido a sus preguntas], pero debería ser útil para aquellos que están pensando en el problema (por ejemplo, la respuesta de Kevin Buzzard) conocer el siguiente resultado clásico.

Teorema (Schreier-Ulam): Los únicos subgrupos normales propios no triviales de $S_{\infty}$ son $\mathfrak{s}_{\infty} = \bigcup_{n \geq 1} S_n$ y $\mathfrak{a}_{\infty} = \bigcup_{n \geq 1} A_n$ es decir, el "pequeño grupo simétrico" de todas las permutaciones que sólo desplazan un número finito de elementos y su subgrupo alterno de índice dos.

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Referencia: J. Schreier y S. Ulam, Sobre el grupo de permutación de la sucesión de números naturales . Stud. Math. 4, 134-141 (1933).

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Adenda: Ciertamente este teorema implica que cualquier homomorfismo de $S_{\infty}$ en un grupo $G$ que se restringe al homomorfismo de signo en $\mathfrak{s}_{\infty}$ debe tener un núcleo exactamente igual a $\mathfrak{a}_{\infty}$ . Que esto responda a la pregunta depende, supongo, de cuánto te importe cuál es el monomorfismo inducido $S_{\infty}/\mathfrak{a}_{\infty} \hookrightarrow G$ parece.

Answer 2

Sea $A$ denota el subgrupo de $S_\infty$ formado por permutaciones que sólo mueven un número finito de elementos y tienen firma par. Entonces $A$ es un subgrupo normal de $S_\infty$ y el cociente $S_\infty/A$ es un grupo candidato. Contiene un elemento central $z$ de orden 2, es decir, la imagen de $G/A$ donde $G$ son todas las permutaciones que sólo desplazan un número finito de elementos. El mapa cociente $S_\infty\to S_\infty/A$ tiene todas las propiedades que quieres---excepto que no se parece en nada al mapa de firma/firma. ¿Te servirá esta construcción abstracta pero que no utiliza el axioma de elección o necesitas un grupo objetivo mucho más concreto?

Si $S_\infty/A$ no le sirve, entonces mi respuesta podría reducir su pregunta a "escriba un cociente bonito de $S_\infty/A$ que no es trivial en $z$ ".

Answer 3

Si se considera el rasgo distintivo del homomorfismo de signo $S_n \to \mathbb{Z}/2$ es que es el mapa canónico de $S_n$ a su abelianización, entonces no hay nada análogo para $S_\infty$ en el sentido de que la abelianización de $S_\infty$ es trivial. La abelianización de un grupo $G$ es también la homología del grupo $H_1(G, \mathbb{Z})$ y, de hecho, para $G = S_\infty$ todos los grupos homológicos $H_i(S_\infty, \mathbb{Z})$ desaparecer para $i > 0$ ; $S_\infty$ es un grupo acíclico . Véase Grupos acíclicos de automorfismos cuya primera página contiene una exposición de este resultado y otros similares.

Answer 4

Este grupo es fascinante y he reflexionado mucho sobre esta cuestión. Aunque soy incapaz de responderla de forma sensata (un ejemplo de forma no sensata sería incrustar este grupo en el grupo de permutaciones sobre sí mismo mediante traslación a la izquierda), permítanme decir algunas cosas.

Sea $S$ sea el grupo simétrico entero (en un conjunto infinito $X$ ), $F$ su subgrupo finitario (permutaciones con soporte finito), y $A$ su subgrupo de índice 2 de permutaciones pares. La pregunta es sobre $S/A$ que se encuentra en una extensión central $$ 1\to F/A(\simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \to S/A\to S/F\to 1;$$ deje $\omega^X\in H^2(S/F,\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ sea la clase de cohomología de esta extensión. Del resultado de Vitali se deduce $\mathrm{Hom}(S,\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})=0$ que $\omega\neq 0$ . Sergiescu observó, utilizando la acíclicidad de $S$ (la Harpe- McDuff) que $H^2(S/F,\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ se reduce a $\{0,\omega^X\}$ y, de hecho, que $H_2(S/F)\simeq\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ .

Dado un grupo $G$ y un homomorfismo $f:G\to S/F$ (llamo a esto una acción cercana equilibrada), se obtiene así, por pullback, una clase de cohomología $f^*\omega^X\in H^2(G,\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$ cuya no evanescencia está en obstrucción para $f$ para elevarse a un homomorfismo $G\to S$ es decir, una verdadera acción sobre $X$ .

Los primeros cálculos explícitos no triviales de tales clases fueron realizados por Kapoudjian en el contexto de los grupos de Higman-Thompson y Neretin y sus acciones cercanas naturales sobre árboles. Por esta razón, llamo $f^*\omega^X$ clase Kapoudjian de la acción cercana, y lo abordo aquí , §8.6 (aviso de autopublicidad, por lo que cw esta respuesta).

En cuanto a la pregunta inicial, tiene una especie de análogo más fácil que merece algún comentario, a saber, encontrar una incrustación "natural" de $S/F$ (en lugar de $S/A$ ): la respuesta más sencilla parece ser incrustarlo en el grupo de auto-homeomorfismos del límite Stone-Cech de $X$ . Para $X$ contable, existe una importante literatura en torno a cuán grande es la imagen dentro de todo el grupo de auto-homeomorfismo (problema de Rudin-Shelah). En cualquier caso, estas ideas no parecen proporcionar incrustaciones de $S/A$ . Insisto de todas formas, porque cualquier incrustación de $S/A$ induce una incrustación de $S/F$ (no literalmente hablando, sino tras modificar ligeramente el grupo destinatario), por lo que primero hay que comprender bien cómo incrustar $S/F$ sería útil (no hay tantas formas entendidas), y en segundo lugar una buena comprensión de la extensión central también sería útil, y esto está bien codificado en la clase Kapoudjian.

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Añadido: He hecho el papel raro de Vitali de 1915 (en italiano) disponible aquí . Información de referencia: G. Vitali. Sustituciones sobre una infinidad numerable de elementos. Boletín Mathesis 7: 29-31, 1915. (Cualquier sugerencia sobre un repositorio más estándar será bienvenida).