$SU\left(N\right)$ Etiquetas Dynkin, cómo calcular

Question

Sea $V$ sea alguna representación irreducible compleja de $SU\left(N\right)$ . He leído que para calcular las etiquetas Dynkin de los pesos, se puede tomar el peso más alto y luego restarle las filas de la matriz de Cartan. Esto tiene sentido, ya que los pesos de una representación irreducible deben diferir por raíces.

Mi pregunta es, ¿qué filas del Cartan son las correctas? Por ejemplo, para $SU\left(5\right)$ supongamos que el peso más alto es $\left(0,0,0,1\right)$ . Sé que la matriz de Cartan es

$$\left(\begin{array}{cccc} 2 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ & -1 & 2 & -1\\ & & -1 & 2 \end{array}\right)$$ ¿Qué filas sustraigo de la etiqueta Dynkin de mayor peso para obtener las demás etiquetas Dynkin, y cuándo me detengo?

Answer 1

Las filas de la matriz de Cartan constituyen las raíces $\alpha_i$ en la base Dynkin, donde $i$ va de 1 a 4 en este caso, $SU(5)$ . Obsérvese que el peso también tiene 4 componentes (etiquetas de Dynkin).

Por convención, etiquete los componentes del peso $a_i$ (molestosamente similar a $\alpha_i$ ). Si $a_i$ es mayor que cero, restamos la raíz $\alpha_i$ . Así, por cada componente positivo de tu peso, restas la raíz correspondiente.

Esto se entiende mejor con tu ejemplo. La cuarta componente del peso es la única que es positiva, por lo tanto restamos la cuarta raíz. Explícitamente, el peso es: $a_1 = a_2 = a_3 = 0, a_4 = 1$ por lo que realizamos $\Lambda_{highest} - \alpha_4$ . Esto nos da $(0, 0, 1, -1)$ un nuevo peso. A continuación continuamos el proceso viendo que esta vez la tercera componente es la única componente positiva, por lo que restamos $\alpha_3$ .

Si hay varios componentes del peso que son positivos, debemos restar varias raíces y, por lo tanto, obtener dos pesos nuevos diferentes, cada uno de los cuales tiene la misma "altura". Por ejemplo, partiendo de $(1, 0, 0, 1)$ que podría ser un peso en una representación diferente de $SU(5)$ tendríamos que restar ambos $\alpha_1$ y $\alpha_4$ .

Consulte "Group Theory for Unified Model Building" de Slansky para obtener un enfoque enciclopédico de estos cálculos desde el punto de vista de la física.