Comprender las integrales iteradas

Question

Me he encontrado con integrales iteradas en documentos que tratan de valores multizeta, polilogaritmos, etc. Desde entonces estoy tratando de averiguar las motivaciones y el propósito de la teoría.

Parece que las definiciones y los métodos se remontan a K.-T. Chen. Las integrales parecen converger como una serie exponencial. Publicó muchos trabajos sobre este tema. Algunos de ellos (como se puede ver en sus obras recopiladas) parecen estar relacionados con espacios de caminos, espacios de bucles, etc., y su homología/cohomología. Muchas nociones de topología algebraica parecen llevarse a cabo en este contexto utilizando la herramienta analítica de la integral iterada. Él lo llama un "enfoque teórico de de Rham" del grupo fundamental, etc.. ¿Se trata de una "teoría de homotopía de de Rham"? ¿Podemos captar propiedades topológicas mediante la integración iterada? En particular tengo en mente el artículo "iterated path integrals" de K.-T. Chen. También hay muchos otros, y algunos de ellos están en los Anales; así que no se puede cuestionar la importancia matemática del tema.

Siento hacer una pregunta vaga. Soy un principiante en un tema que lucha por comprender los conceptos y las motivaciones que hay detrás de ellos. Agradeceré cualquier indicación que me ayude a comprender mejor el tema para poder empezar.

Answer 1

Como menciona Emerton, las integrales iteradas sólo funcionan bien para representaciones unipotentes de $\pi_1(X,x)$ .

La razón es que las formas diferenciales son objetos abelianos: para caminos $\gamma_i$ y una forma 1 cerrada $\alpha \in \Omega^1(X)$ , $$\int_{\gamma_1\gamma_2} \alpha = \int_{\gamma_1} \alpha + \int_{\gamma_2} \alpha = \int_{\gamma_2\gamma_1} \alpha$$ Eso y la invariancia de homotopía implica que la integración induce un emparejamiento
$$\int: H^1(\Omega(X)) \otimes \mathbb{Q} [\pi_1(X,x)]^{ab} \to \mathbb{C}$$ donde $\mathbb{Q}[\pi_1(X,x)]^{ab} = H_1(X;\mathbb{Q})$ .

Si consideramos las integrales iteradas, podemos ir un paso más allá. El emparejamiento anterior tiene una generalización como
$$\int: H^0(Ch^{\leq n}(X)) \otimes \mathbb{Q}[\pi_1(X,x)]/J_x^{n+1} \to \mathbb{C}$$ donde $Ch^{\leq n}(X)$ es la longitud $\leq n$ parte de la compleja y $J$ es el ideal de aumento generado por el $(\gamma-1)$ . Así, las integrales iteradas describen la terminación pro-unipotente (Malcev) $\pi_1^{uni}(X,x)$ de $\pi_1(X,x)$ . Y $\varinjlim_n H^0(Ch^{\leq n}(X))$ puede considerarse como el álgebra de Hopf de funciones sobre el grupo fundamental (pro-unipotente) de Rham. También se puede definir una filtración de Hodge y de peso y obtener una estructura pro-mixta de Hodge sobre $\varprojlim \mathbb{Q}[\pi_1(X,x)]/J^n$ .

Esto permite extender la correspondencia entre sistemas locales unipotentes y representaciones unipotentes el grupo fundamental al entorno de de Rham e incluso al de Hodge o motivacional. Por supuesto, hay condiciones técnicas para que las cosas vayan bien. Básicamente se necesita $X$ ser unipotente $K(\pi,1)$ en el sentido de que $H^i (\pi_1^{uni}(X,x),\mathbb{Q}) \to H^i(X,\mathbb{Q})$ es un isomorfismo. En el lenguaje de la teoría racional de homotopías esto corresponde a 1-minimalidad.

PD: No está claro cómo proceder para ir más allá del escenario unipotente. Creo que Hain, Matsumoto y Terasoma tienen una generalización de la construcción de la barra que funciona para "compleciones relativas" más generales, pero aún no se ha publicado nada.

Answer 2

La teoría de la integral iterada da una estructura mixta de Hodge sobre la homotopía racional de una variedad. En el caso del grupo fundamental, que yo sepa, sólo se puede detectar la terminación nilpotente del grupo fundamental. (Al menos, ésta es la única parte de $\pi_1$ con los que la gente trabaja en un contexto motivacional --- véase, por ejemplo, el artículo de Deligne sobre la esfera tres veces perforada, muchos artículos de Dick Hain, y quizás el artículo original de Sullivan de 1977 sobre la teoría racional de homotopías).

Véase el reciente trabajo de Minhyong Kim sobre la aplicación de estas ideas al estudio de los puntos racionales en curvas sobre campos numéricos.

Answer 3

Una importancia topológica de estas integrales iteradas es que pueden utilizarse para modelar el complejo de barras en las co-cadenas de Rham de una variedad y, por tanto, en cierto sentido, el "complejo de Rham" del espacio de bucles de la variedad, ya que $H_*(Bar(\Lambda^* X)) \cong H^*(\Omega X)$ [Aquí estoy utilizando $\Lambda$ para el complejo de Rham y $\Omega X$ para indicar bucles]. Para un espacio simplemente conectado, este complejo de barras ofrece una forma razonable de codificar el tipo de homotopía racional, aunque los modelos de Sullivan han sido más populares. Así, en particular, se puede entender un conjunto completo de funcionales de homotopía (es decir, el dual lineal de los grupos de homotopía) utilizando integrales iteradas: Milnor y Moore demostraron que $\pi_*(X) \otimes {\mathbb Q}$ es isomorfa al álgebra de Lie de indecomponibles de $H_*(\Omega X; {\mathbb Q})$ por lo que el dual lineal de la homotopía es la "álgebra de Lie de coindecomposibles" de la cohomología racional del espacio de bucles de $X$ (de nuevo dada por las integrales de Chen si se desea). Chen demostró muy pronto que estas integrales dan información sobre $\pi_1$ (a través de su terminación nilpotente).

Mi coautor Ben Walter y yo hemos desarrollado un modelo para los tipos racionales de homotopía que se acerca tanto al modelo de Chen como al de Quillen (y es compatible también con el modelo de Sullivan), y hemos aclarado también la historia de los funcionales en grupos de homotopía. Gracias al trabajo de Chen, sabemos que tendremos mucha información que extraer en el entorno no simplemente conectado.