Geometría simple Solución simple

Question

Sea $ABCD$ sea un cuadrado con lados de longitud $2$ . Sea $\omega$ sea una circunferencia con centro $A$ y radio $2$ y $\gamma$ un semicírculo con el diámetro BC (véase la imagen de abajo). Halla el área delimitada por $\omega$ , $\gamma$ y la línea $CD$ .

El problema puede resolverse observando que $ABOK$ es un cuadrilátero cíclico y aplicando allí el teorema de Ptolomeo. Sin embargo, requiere muchos cálculos (calcular BK que el área del segmento BK y etc.) Me pregunto si hay una solución más elegante. Si es así por favor ayúdame.

Answer 1

Diga $\angle OAK = \theta$ entonces $\angle KAD = \dfrac{\pi}{2} - 2 \theta$ y $\angle COK = 2 \theta$

Área del sector $COK = \theta$

Área del sector $KAD \displaystyle = \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) \cdot 4 = \pi - 4 \theta$

Área de ABOK $ = 2 \cdot S_{\triangle AOK} = 2$

Superficie del cuadrado $ABCD = 4$

Superficie deseada $ = 4 - (2 + \pi - 3 \theta) = 2 + 3 \theta - \pi$

Tenga en cuenta que $~ \tan \theta = \frac12 \implies \theta = \arctan(1/2) \approx 0.46365$