Mendelson, Introducción a la lógica matemática
¿Cómo se explica la frase resaltada? No entiendo si la letra del enunciado son variables que van sobre T o F, o el $x_i$ son las variables. O si son ambas, ¿por qué tenemos dos conjuntos de variables?
Respuesta
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Una función de verdad de $n$ variables (argumentos) es técnicamente una función de $\{T,F\}^n$ a $\{T,F\}$ . Es decir, es una función de la forma $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ donde las entradas permitidas para $v_1,\ldots,v_n$ son $T$ y $F$ y la salida de la función es $T$ o $F$ . Las entradas son los valores de verdad de las letras de enunciado de interés, y la salida es el valor de verdad de alguna combinación lógica de ellas.
Como ejemplo, la función de verdad para la conectiva lógica $\leftrightarrow$ ('si y sólo si') es una función de dos variables definida como sigue:
$$\begin{align*} &f(T,T)=T\\ &f(T,F)=F\\ &f(F,T)=F\\ &f(F,F)=T\,. \end{align*}$$
Para hallar el valor verdadero de una expresión $A\leftrightarrow B$ por ejemplo, dejamos que $x$ sea el valor de verdad de $A$ y $y$ el valor de verdad de $B$ Entonces $f(x,y)$ es el valor de verdad de $A\leftrightarrow B$ .
La función de verdad de la conectiva $\neg$ ('no') es una función de una variable definida como sigue:
$$\begin{align*} &g(T)=F\\ &g(F)=T\,. \end{align*}$$
Con $x$ y $y$ como antes, el valor de verdad de $(\neg A)\leftrightarrow B$ es $f\big(g(x),y\big)$ porque $g(x)$ es el valor de verdad de $\neg A$ .
