Una consecuencia topológica de Riemann-Roch en el caso casi complejo

Question

Esta pregunta tiene su origen en una conversación con Dmitry que tuvo lugar aquí

¿Existe una estructura compleja en la 6esfera?

La fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch expresa la característica de Euler de un haz vectorial holomorfo sobre una variedad compleja compacta $M$ en términos de las clases de Chern del haz y de la variedad. Por otra parte, en el caso de las variedades complejas, las clases de $\bar\partial$ es un diferencial (es decir, se eleva al cuadrado por cero) y, por tanto, el complejo de tramas de suaves $(p,q)$ formularios para un $p$ equipado con el $\bar\partial$ diferencial es una resolución de $\Omega^p$ se trata de un complejo de láminas suaves y, por tanto, tomando secciones globales podemos calcular la cohomología de $\Omega^p$ . Además, como el complejo de Rham resuelve la gavilla constante, la suma alternante de las características de Euler de $\Omega^p$ es la característica de Euler de $M$ .

Para una variedad pseudocompleja arbitraria, la única parte de lo anterior que tiene sentido es la "parte derecha" de la fórmula de Riemann-Roch (es decir, la que implica las clases de Chern) y la característica (topológica) de Euler de la propia variedad. Así que parece natural preguntarse si la relación entre ambas que es cierta en el caso complejo sigue siendo cierta en el caso casi complejo. En otras palabras, ¿es cierto que para una variedad compacta casi compleja $M$ de dimensión $2n$ tenemos $$\chi(M)=\sum_{p=0}^n (-1)^p\sum_{i=0}^{n\choose{p}}\mathrm{ch}_{n-i}(\Omega^p)\frac{T_i}{i!}$$ donde $\chi$ es la característica topológica de Euler, $\Omega^p$ es el $p$ -enésima potencia exterior compleja del haz cotangente (es decir, el dual complejo del haz tangente), $\mathrm{ch}$ es el carácter de Chern y $T_i$ es el $i$ -ésimo polinomio de Todd de $M$ ?

En general, ¿hay consecuencias topológicas de la existencia de la resolución de Dolbeault que serían difíciles de demostrar (o, más ambiciosamente, fallarían) para variedades pseudocomplejas arbitrarias?

Answer 1

Creo que la ecuación mostrada es válida para colectores casi complejos. Esto está estrechamente relacionado con un cálculo del que hablé aquí .

Sea $r_1$ , $r_2$ , ..., $r_n$ sean las raíces de Chern del haz tangente. Entonces $\sum (-1)^p \mathrm{ch}(\Omega^p) = \prod (1-e^{-r_i})$ . Sea $\mathrm{Td}$ denotan la clase Todd total, por lo que $\mathrm{Td} := \sum T_i/i! = \prod \frac{r_i}{(1-e^{-r_i})}$ . La cantidad que le interesa es $$\int \mathrm{Td} \prod (1-e^{-r_i}) = \int \prod r_i.$$ En otras palabras, la clase de Chern superior del haz tangente holomorfo.

Así que la pregunta es "En una variedad casi compleja, ¿sigue siendo cierto que la clase de Chern superior del haz tangente holomorfo es $\chi(M)$ ?" Creo que la respuesta es sí. Tome una sección lisa genérica $\sigma$ del haz tangente e integrarlo para obtener un flujo. Creo que los puntos fijos de ese flujo serán precisamente, con multiplicidad, las intersecciones de $\sigma$ con la sección cero. Entonces hemos terminado por el teorema del punto fijo de Lefschetz.

La razón por la que sigo diciendo "creo" y "pienso" es que no paso mucho tiempo trabajando con estructuras complejas no integrables, así que puedo creer fácilmente que se me ha escapado alguna sutileza.

Answer 2

En general, ¿hay consecuencias topológicas de la existencia de la resolución de Dolbeault que serían difíciles de demostrar (o, más ambiciosamente, fallarían) para variedades pseudocomplejas arbitrarias?

Puesto que una variedad casi compleja tiene un haz tangente como el de una variedad compleja, el lugar para medir la diferencia no es, creo yo, en las cosas que tienen que ver con las clases características de los haces y los índices de los operadores elípticos. La respuesta de David ilustra esto, y yo diré algo más filosófico.

Las restricciones topológicas impuestas por la integrabilidad son severas en dimensión real 4. Estructuras casi complejas en 4-manifolds $X$ son baratos: todo lo que necesita para existir es un candidato $c$ para la primera clase de Chern, que debe satisfacer $w_2=c \mod 2$ y $c^2[X]=2\chi+3\sigma$ (donde $\sigma$ es la firma, y la segunda ecuación reescribe $p_1=c_1^2-2c_2$ ). Las estructuras complejas integrables son difíciles de encontrar. Para evitar recurrir a los métodos de Kaehler, digamos que $b_1$ debe ser impar. Las superficies complejas de este tipo aún no están completamente clasificadas, pero se han localizado en algunos "lugares" topológicos específicos, uno de los cuales es $\pi_1=\mathbb{Z}$ y $H^2$ negativo-definido (superficies de clase VII).

Para llegar tan lejos, se utiliza casi toda la geometría compleja que se pueda imaginar. La historia comienza con Dolbeault y la degeneración de la secuencia espectral de Hodge a de Rham (que utiliza la dualidad de Serre), pero invoca muchos otros argumentos (véase Barth et al., Superficies compactas complejas ). Se espera que las superficies de clase VII contengan 3 esferas no separadas; para demostrarlo cuando $b_2=1$ A. Teleman analizó cuidadosamente los espacios de moduli compactificados de haces estables de rango 2.

Su pregunta se inspira en la cita de Dmitri de Gromov, quien afirmaba en el pasaje citado de Espacios y preguntas que "las variedades complejas no han hecho honor a su fama". En el caso de las superficies que no son de Kaehler, puede que tenga razón; una gran cantidad de trabajo sólo hace aparecer un puñado de especímenes estrafalarios de los que es difícil enamorarse.

Answer 3

Puede que esté repitiendo lo que ya se ha dicho, pero creo que la cuestión es la siguiente. La teoría del índice siempre funciona en el caso "casi" porque se puede establecer un 2 pasos complejo elíptico con operador D + D^* donde D es d-bar. Además creo que, en dimensión real 6 o más, hay no obstáculos conocidos a la existencia de una integrable estructura compleja más allá de los de una estructura casi compleja. El caso de 4 dimensiones reales es especial porque tenemos la clasificación de Kodaira de superficies complejas. (PD: ¡No creo que fuera realmente necesario tantas fórmulas matemáticas arriba!)

Answer 4

Sólo quería señalar cómo esta pregunta está relacionada con (spin ${}^c$ ) Operadores de Dirac y sus indicies ya que se aludía a ello en los comentarios a la pregunta.

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Sea $(M, g)$ ser un $2n$ -dimensional cerrada. Dado un espín ${}^c$ se puede formar el espín complejo ${}^c$ paquetes $\mathbb{S}^+_{\mathbb{C}}$ y $\mathbb{S}^-_{\mathbb{C}}$ . Para cualquier haz vectorial hermitiano $E \to M$ hay un espín retorcido ${}^c$ Operador de Dirac $D^c_E : \Gamma(\mathbb{S}^+_{\mathbb{C}}\otimes E) \to \Gamma(\mathbb{S}^-_{\mathbb{C}}\otimes E)$ que tiene el índice

$$\operatorname{ind}(D^c_E) = \int_M\exp(c_1(L)/2)\operatorname{ch}(E)\hat{A}(TM)$$

donde $L$ es el haz de líneas complejo asociado al espín ${}^c$ estructura.

Supongamos ahora que $M$ admite una estructura casi compleja $J$ y $g$ es hermitiana. Entonces hay un espín canónico ${}^c$ que tiene asociado un haz de líneas $L = \det_{\mathbb{C}}(TM)$ Así que $c_1(L) = c_1(M)$ . Utilizando el hecho de que $\exp(c_1(M)/2)\hat{A}(TM) = \operatorname{Td}(M)$ el índice pasa a ser

$$\operatorname{ind}(D^c_E) = \int_M \operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(M).$$

Además, $\mathbb{S}^+_{\mathbb{C}} \cong \bigwedge^{0,\text{even}}M$ y $\mathbb{S}^-_{\mathbb{C}} \cong \bigwedge^{0, \text{odd}}M$ .

En $J$ es integrable y $E$ es holomorfa, $D^c_E = \sqrt{2}(\bar{\partial}_E + \bar{\partial}^*_E)$ y la igualdad anterior se convierte en el enunciado del Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch. En particular, si $E = \Omega^p$ entonces $D^c_p := D^c_{\Omega^p}$ tiene índice $\operatorname{ind}(D^c_p) = \chi(M, \Omega^p)$ .

En el caso general, Hirzebruch definió $\chi^p(M) := \operatorname{ind}(D^c_p)$ e introdujo el Hirzebruch $\chi_y$ género $\chi_y(M) = \sum_{p=0}^n\chi^p(M)y^p$ . Con esta notación, su pregunta es si la igualdad $\chi_{-1}(M) = \chi(M)$ retenciones. Utilizando las raíces de Chern $x_i$ de $TM$ se constata que

$$\chi_y(M) = \int_M\prod_{i=1}^n\frac{x_i(1+ye^{-x_i})}{1-e^{-x_i}}.$$

Configuración $y = -1$ concluimos $\chi_{-1}(M) = \chi(M)$ exactamente como en la respuesta de David E Speyer.

Véase esta nota para obtener más detalles sobre el $\chi_y$ y sus propiedades, así como las referencias de las afirmaciones anteriores.