Invariantes clásicos que implican potencias exteriores de la representación estándar

Question

Al investigar ciertos haces de líneas de bloques conformes en $\overline{M}_{0,n}$ Me ha llevado a lo que parece ser una identificación entre dos espacios de invariantes, y tengo curiosidad por saber si hay una forma directa de ver esta identificación.

Declaración para cualquier número entero $n\ge 4$ y $r\ge 2$ y cualquier número entero $i_1,\ldots,i_n$ tal que $1 \le i_j \le r-1$ y $r=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n i_j$ creo que hay un isomorfismo de espacio vectorial $$(\wedge^{i_1}\mathbb{C}^r\otimes\cdots\otimes \wedge^{i_n}\mathbb{C}^r)^{SL(r)} \cong (S^{i_1}\mathbb{C}^2\otimes\cdots\otimes S^{i_n}\mathbb{C}^2)^{SL(2)},$$ donde $\mathbb{C}^m$ denota la representación estándar de $SL(m)$ . Los invariantes en el lado derecho son clásicos y bien conocidos: una base viene dada por todos los $2\times r$ cuadros semiestándar con entradas en $\{1,\ldots,n\}$ tal que $j$ ocurre exactamente $i_j$ veces. Me pregunto si los invariantes en el LHS también son conocidos, y si hay una razón conceptual por la que podrían estar en biyección con los de la RHS.

Fondo : Esto no es relevante para la pregunta en sí, pero lo incluyo por si tienes curiosidad sobre cómo surgió esta supuesta identidad. Parece probable que para los haces de bloques conformes en $\overline{M}_{0,n}$ de nivel 1 y el álgebra de Lie $\mathfrak{sl}(r)$ las secciones globales se identifican naturalmente con un espacio de covariantes. En concreto, el haz lineal de bloques conformes con pesos $(\omega_{i_1},\ldots,\omega_{i_n})$ donde $\omega_i$ son pesos fundamentales, deben tener secciones globales $(\wedge^{i_1}\mathbb{C}^r\otimes\cdots\otimes\wedge^{i_n}\mathbb{C}^r)_{\mathfrak{sl}(r)}$ ya que la representación irreducible asociada a $\omega_i$ es $\wedge^i\mathbb{C}^r$ . Este espacio de $\mathfrak{sl}(r)$ -es isomorfo al espacio correspondiente de $\mathfrak{sl}(r)$ -que, a su vez, es el mismo que el espacio de $SL(r)$ -invariantes para esta representación. Por otra parte, se sabe (por un resultado de Fakhruddin) que cuando $\sum_{j=1}^n i_j = 2r$ entonces este haz lineal de bloques conformes induce el morfismo GIT $\overline{M}_{0,n} \rightarrow (\mathbb{P}^1)^n//_{(i_1,\ldots,i_n)}SL(2)$ por lo que sabemos que su espacio de secciones globales es $H^0((\mathbb{P}^1)^n,\mathcal{O}(i_1,\ldots,i_n))^{SL(2)}$ .

Answer 1

La dimensión de los espacios de invariantes viene dada por el número de tablas de Young semiestándar de una forma específica. Si se aplica la regla de Littlewood-Richardson para tensar potencias de cuña, se ve que para el primer espacio hay que contar las tablas de la forma rectangular con $r$ filas y $2$ columnas que se rellenan con $i_1$ de $1$ 's, $i_2$ de $2$ 's, ..., $i_n$ de $n$ tales que los números aumenten estrictamente en filas y no estrictamente en columnas. Y si se aplica la regla de Littlewood-Richardson para tensar productos simétricos, se ve que Para el segundo espacio hay que contar las tablas de la forma rectangular con $2$ filas y $r$ columnas que se rellenan con $i_1$ de $1$ 's, $i_2$ de $2$ 's, ..., $i_n$ de $n$ tales que los números aumenten estrictamente en columnas y no estrictamente en filas. Ahora puedes ver que la transposición convierte las tablas del primer tipo en tablas del segundo tipo. Lo que da la igualdad deseada.

Answer 2

Siguiendo con la respuesta de Sasha, sí, existe un isomorfismo natural de espacios vectoriales que elimina la igualdad combinatoria. Todos los isomorfismos en esta respuesta serán naturales.

Dualidad Schur-Weyl:

Sea $\lambda$ sea una partición; establezca $d = |\lambda|$ y que $m$ ser mayor o igual que el número de partes de $\lambda$ . Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $m$ , dejemos que $V_{\lambda}$ sea el irrep de $GL(V)$ con mayor peso $\lambda$ un let $M_{\lambda}$ sea el $S_d$ -irrep (módulo Specht) indexado por $\lambda$ . Dualidad Schur-Weyl es el isomorfismo de $GL(V)$ representaciones: $$\mathrm{Hom}_{S_d}(M_{\lambda}, V^{\otimes d}) \cong V_{\lambda}.$$ Tomaré esto como la definición de $V_{\lambda}$ .

Producto tensorial y restricción:

Sea $\mu$ , $\lambda_1$ , ..., $\lambda_k$ sean particiones, con $|\mu| = \sum |\lambda_i|$ . Sea $m$ ser mayor o igual que el número de partes de $\mu$ . Establecer $d_i = |\lambda_i|$ . Entonces lo anterior demuestra que $$\begin{align*} &\mathrm{Hom}_{GL(V)}\left( V_{\mu}, V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_k} \right)\\ &\cong \mathrm{Hom}_{GL(V)} \left( \mathrm{Hom}_{S_{\sum d_i}} \left( M_{\mu}, V^{\otimes \sum d_i} \right), \mathrm{Hom}_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}}\left( M_{\lambda_1} \boxtimes \cdots \boxtimes M_{\lambda_k}, V^{\otimes \sum d_i} \right) \right) \\ &\cong \mathrm{Hom}_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}} \left( M_{\lambda_1} \boxtimes \cdots \boxtimes M_{\lambda_k}, \left( M_{\mu} \right)|_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}} \right). \end{align*}$$ En otras palabras, cada Hom de la segunda expresión se induce a partir de la composición con uno de los Hom de la tercera expresión. Aquí, si $U$ y $V$ son $G$ y $H$ -representaciones, entonces $U \boxtimes V$ indica $U \otimes V$ con $G$ y $H$ que actúan sobre el primer y el segundo factor, respectivamente.

Relación con la transposición:

Ahora dejemos que $\lambda_i$ y $\mu$ sea como el anterior. Sea $\epsilon(d)$ sea la representación del signo de $S_d$ y que $\lambda^T$ sea la transposición de $\lambda$ . Entonces $M_{\lambda} \cong M_{\lambda^T} \otimes \epsilon(|\lambda|)$ . Cómo hacer que esto sea natural depende de cómo se defina exactamente $M_{\lambda}$ . Por ejemplo, si utiliza Vershik-Okounkov las bases que construyen para $M_{\lambda}$ y $M_{\lambda^T}$ se corresponden entre sí.

Ahora, $\epsilon(d_1) \boxtimes \cdots \boxtimes \epsilon(d_k) \cong \epsilon(\sum d_i)|_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}}$ y es irreducible. Entonces deducimos que $$\mathrm{Hom}_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}} \left( M_{\lambda_1} \boxtimes \cdots \boxtimes M_{\lambda_k}, \left( M_{\mu} \right)|_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}} \right) \cong \mathrm{Hom}_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}} \left( M_{\lambda_1}^T \boxtimes \cdots \boxtimes M_{\lambda_k}^T, \left( M_{\mu}^T \right)|_{S_{d_1} \times \cdots \times S_{d_k}} \right)$$ y este isomorfismo es natural si definimos $M_{\lambda} \cong M_{\lambda^T} \otimes \epsilon(|\lambda|)$ de forma natural.

En resumen, si $\dim V$ es mayor o igual que el número de partes en $\mu$ y $\dim W$ es mayor o igual que el número de partes en $\mu^T$ entonces tenemos un isomorfismo natural: $$\mathrm{Hom}_{GL(V)}\left( V_{\mu}, V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_k} \right) \cong \mathrm{Hom}_{GL(W)}\left( W_{\mu^T}, W_{\lambda^T_1} \otimes \cdots \otimes W_{\lambda^T_k} \right).$$

Su pregunta:

Toma $\lambda_j = 1^{i_j}$ y $\mu = 2^r$ . Sea $\dim V = r$ y $\dim W=2$ .

Desde $M_{\lambda_j}$ es el signo rep, tenemos $V_{\lambda_j} \cong \bigwedge^{i_j} V$ naturalmente. Del mismo modo, puesto que $M_{\lambda_j^T}$ es la rep trivial, tenemos $W_{\lambda_j^T} \cong \mathrm{Sym}^{i_j}(W)$ .

Por último, hay que utilizar el hecho de que $V_{\mu}$ y $W_{\mu^T}$ son unidimensionales triviales $SL(V)$ y $SL(W)$ repeticiones. (Más concretamente, son $\det^2$ y $\det^r$ como $GL$ -reps.) No estoy seguro de cuál es la prueba más fácil de esto, pero sólo puede introducir un factor escalar a sus isomorfismos.