Problema de Deligne-Simpson en el grupo simétrico

Question

Pregunta. Sea $C_1,\dots,C_k$ sean clases de conjugación en el grupo simétrico $S_n$ . (Más explícitamente, cada $C_i$ viene dada por una partición de $n$ ; $C_i$ consiste en permutaciones cuyos ciclos tienen la longitud prescrita por la partición). Dé una condición necesaria y suficiente para $C_i$ que aseguraría que hay permutaciones $\sigma_i\in C_i$ con $$\prod\sigma_i=1.$$

Variante. La misma pregunta, pero ahora $\sigma_i$ deben ser irreducible en el sentido de que no tienen subconjuntos propios invariantes comunes $S\subset\lbrace 1,\dots,n\rbrace$ .

No estoy seguro de la dificultad de esta pregunta y agradecería cualquier comentario u observación. (No he podido encontrar referencias, pero quizá no buscaba lo adecuado).

Esta pregunta se inspira en Pregunta de Jonah Sinick a través de la sencilla

Interpretación geométrica. Consideremos la esfera de Riemann con $k$ -puntura $X=\mathbb{CP}^1-\lbrace x_1,\dots,x_k\rbrace$ . Su grupo fundamental $\pi_1(X)$ se genera mediante bucles $\gamma_i$ ( $i=1,\dots,k$ ) sujeta a la relación $$\prod\gamma_i=1.$$ Así, los homomorfismos $\pi_1(X)\to S_n$ describir el grado $n$ cubiertas de $X$ y el problema puede plantearse del siguiente modo: Determinar si existe una cubierta de $X$ con prescripción ramificación sobre cada $x_i$ . La variante requiere además que la cubierta sea irreducible.

Antecedentes. El problema Deligne-Simpson se refiere a la siguiente cuestión:

Fijar clases de conjugación $C_1,\dots,C_k\in\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ (dado explícitamente por $k$ Formas jordanas). ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para la existencia de matrices $A_i\in C_i$ con $$\prod A_i=1$$ (variante: exigir que $A_i$ no tienen subespacios invariantes propios comunes)?

Hay bastantes artículos sobre el tema; mi favorito es Documento de Simpson que contiene referencias a otros documentos pertinentes. El problema tiene una solución muy poco trivial (incluso enunciar la respuesta no es fácil): primero existe un cierto procedimiento de descenso ( Algoritmo de convolución media de Katz ) y luego se construye directamente la respuesta (según tengo entendido, hay dos respuestas: El argumento de Crawley-Boevey con haces parabólicos, y la construcción de Simpson utilizando la teoría de Hodge no abeliana).

La misma interpretación geométrica muestra que el problema habitual de Deligne-Simpson es se trata de encontrar sistemas locales (variante: sistemas locales irreducibles) en $X$ con monodromía local prescrita.

Entonces: ¿alguna observación sobre lo que ocurre si pasamos de $\mathrm{GL}(n)$ a $S_n$ ?

Answer 1

Esta cuestión es un problema de hace más de 100 años y se denomina en la literatura "problema de la exitencia de Hurwitz". Se trata de un problema abierto. Aunque muchos casos parciales están resueltos. Por ejemplo, puede consultar el siguiente artículo

Sobre la existencia de coberturas ramificadas entre superficies con datos de ramificación prescritos, I Ekaterina Pervova, Carlo Petronio

http://arxiv.org/abs/math/0508434

Por supuesto, se puede dar una respuesta formal obvia, (en el primer caso que no sea irreducible) que la cubierta existe si y sólo si el producto de los elementos en el álgebra de grupo de $S_n$ correspondiente a la permutación elegida contiene $1$ en su descomposición. Pero esto no es más que una reformulación del problema.

He aquí un ejemplo diferente de un artículo reciente sobre el problema de existencia de Hurwitz, contiene en parte muchas referencias sobre la investigación en este tema.

Solución del problema de Hurwitz para polinomios de Laurent

http://arxiv.org/abs/math/0611776

También hay que tener en cuenta que hoy en día existe toda una rama de las matemáticas en la que la gente intenta calcular el número real de cubiertas ramificadas, y no sólo responder a la pregunta de si una cubierta existe o no. He aquí un ejemplo típico

Teoría de Gromov-Witten, teoría de Hurwitz y ciclos completos Autores: Andrei Okounkov, Rahul Pandharipande http://arxiv.org/abs/math/0204305

Answer 2

(quería hacer un comentario, pero no sé cómo)

Como dice Dmitri, se puede expresar el número de cubiertas ramificadas utilizando el álgebra de grupo de S_n, no sólo si es distinto de cero; una vez hecho esto, un argumento de inclusión/exclusión basado en la división de las clases de conjugación en particiones más pequeñas permite averiguar el número de éstas que son irreducibles. ésta es una respuesta en principio que, por supuesto, es totalmente inútil en la práctica.